24 Sep
Momentos de Inercia: Fundamentos y Aplicaciones
El momento de inercia es un indicador crucial que determina la resistencia de materiales frente a esfuerzos y deformaciones en vigas y ejes. Por tanto, es una herramienta indispensable para el cálculo en resistencia de materiales.
El momento de inercia solo depende de la geometría del cuerpo y de la posición del eje de giro.
La aplicación fundamental de los momentos de inercia en resistencia de materiales es el cálculo de los módulos resistentes o módulos de la sección. Dicho módulo se calcula como el cociente de dividir el momento de inercia de la sección, referido al eje que pasa por su centro de masas, por la distancia de dicho eje a la fibra más alejada de la sección.
Momento de Inercia de una Superficie Plana con un Eje
Cuando se considera una superficie plana y un eje, el momento de inercia de dicha superficie respecto al eje se denomina Momento de segundo orden de un área.
Momentos de Inercia Axiales
Se presentan cuando el eje respecto al que se calcula el momento de inercia se encuentra en el mismo plano que la superficie.
Momento de Inercia Polar
Se define cuando el eje respecto al que se calcula el momento de inercia es perpendicular al plano que contiene a la superficie S. Se expresa como Io, siendo O el punto de intersección del eje con el plano.
Relación entre Momentos de Inercia Axial y Polar
Siempre que los ejes x e y sean perpendiculares, se puede enunciar la siguiente conclusión:
El momento de inercia polar de una superficie respecto a un eje z es igual a la suma de los momentos de inercia axiales de dicha superficie respecto a dos ejes perpendiculares que se corten en el punto de intersección del eje z.
Matemáticamente se expresa como:
Io = Ix + Iy
Unidad del Momento de Segundo Orden de una Superficie Plana
La unidad del momento de segundo orden, o momento de inercia de una superficie plana, es la de una longitud elevada a la cuarta potencia (por ejemplo, cm4 o m4).
Teorema de Steiner o Teorema de Ejes Paralelos
El teorema de Steiner, también conocido como teorema de los ejes paralelos, es una herramienta fundamental para el cálculo del momento de inercia respecto a ejes arbitrarios. El teorema establece:
El momento de inercia de una figura plana, con respecto a un eje cualquiera ‘a’, es igual al momento de inercia de dicha figura con respecto a un eje que pase por el centro de gravedad y sea paralelo al eje inicial ‘a’, más el área de la figura multiplicada por el cuadrado de la distancia entre los dos ejes.
Analíticamente se expresa así:
Ia = ICG + S · d2
Radio de Giro
El radio de giro de una superficie respecto a un eje se define como una magnitud con dimensión de longitud. Elevada al cuadrado y multiplicada por el área de dicha superficie, nos proporciona el momento de inercia de esta respecto al eje considerado.
Rx = √(I/S)
Momento Resistente
El momento resistente, también conocido como módulo de la sección, es el cociente de dividir el momento de inercia de la sección (referido al eje que pasa por su centro de gravedad) por la distancia de dicho eje a la fibra más alejada de la sección.
W = ICG / yMAX
Momentos de Inercia de Figuras Geométricas Elementales
A continuación, se presenta una tabla con las principales figuras geométricas y sus momentos de inercia respecto a ejes de posición destacada. Es posible obtener, a partir de un momento de inercia dado en la tabla (para cada figura), los demás momentos de inercia. Este ejercicio es interesante para adquirir soltura en el uso del teorema de Steiner y de los conceptos desarrollados, por lo que se aconseja su práctica.
[Aquí se incluiría una tabla con los momentos de inercia de figuras geométricas comunes.]Cálculo del Momento de Inercia de una Figura Plana Compuesta
Ejemplo Práctico
1º Paso: Determinación del Centro de Masa
Se determina el centro de masa, el cual ya sabemos calcular. Para ello, dividimos la figura en áreas simples:
- A1 = base por altura = 30 x 1,9 = 57,00 cm2
- A2 = base por altura = 1,1 x 35,2 = 38,72 cm2
- A3 = base por altura = 30 x 1,9 = 57,00 cm2
Atotal = A1 + A2 + A3 = 57 + 38,72 + 57 = 152,72 cm2
2º Paso: Cálculo de la Ubicación del Centro de Masa Compuesto
Se calcula la ubicación del centro de masa de la figura compuesta. Las coordenadas de los centros de masa de las figuras simples son:
- X1 = 15 cm
- X2 = 15 cm
- X3 = 15 cm
- Y1 = 38,05 cm
- Y2 = 19,5 cm
- Y3 = 0,95 cm
Sustituyendo estos valores en las fórmulas correspondientes, el centro de masa de la figura compuesta estará ubicado en las coordenadas XCG = 15 cm e YCG = 19,5 cm.
3º Paso: Cálculo de Distancias al Centro de Masa Compuesto
Se calculan las distancias desde cada centro de masa de las figuras simples hasta el centro de masa de la figura compuesta.
En este caso, observamos que todos los centros de masa de las figuras simples están contenidos en el eje YCG del centro de masa de la figura compuesta, por lo tanto: X1G, X2G y X3G = 0 cm.
Con relación a las distancias al eje XCG, tenemos las siguientes: Y1G = 18,55 cm, Y2G = 0 cm e Y3G = 18,55 cm.
4º Paso: Cálculo del Momento de Inercia de las Figuras Simples
Se calcula el momento de inercia de cada una de las figuras simples respecto a los ejes XCG e YCG.
Aplicando el teorema de los ejes paralelos (Teorema de Steiner) en el eje XCG:
I1x = I1cgx + A1 (Y1G)2 = (b · h3)/12 + A1 (Y1G)2
I2x = I2cgx + A2 (Y2G)2 = (b · h3)/12 + A2 (Y2G)2
I3x = I3cgx + A3 (Y3G)2 = (b · h3)/12 + A3 (Y3G)2
Realizando los cálculos:
I1x = (30 · 1,93)/12 + 57(18,55)2 = 19631 cm4
I2x = (1,1 · 35,23)/12 + (38,72) (0)2 = 3998 cm4
I3x = (30 · 1,93)/12 + 57(18,55)2 = 19631 cm4
La suma de los momentos de inercia en el eje X es:
IX = I1x + I2x + I3x = 19631 cm4 + 3998 cm4 + 19631 cm4 = 43260 cm4
IX = 43260 cm4
Directamente en el eje YCG, ya que todos los centros de gravedad coinciden con el eje:
I1y = I1cgx = (1,9 · 303)/12 = 4275 cm4
I2y = I2cgx = (35,2 · 1,13)/12 = 3,9 cm4
I3y = I3cgx = (1,9 · 303)/12 = 4275 cm4
La suma de los momentos de inercia en el eje Y es:
IY = I1y + I2y + I3y = 4275 cm4 + 3,998 cm4 + 4275 cm4 = 8554 cm4
IY = 8554 cm4
Resistencia de Materiales: Esfuerzos y Deformaciones
La fuerza es una magnitud física de carácter vectorial que se define como toda acción o influencia capaz de deformar los cuerpos (efecto estático), modificar su velocidad o vencer su inercia y ponerlos en movimiento si estaban inmóviles (efecto dinámico).
Ejemplos incluyen la descomposición de la fuerza de gravedad de un coche en una pendiente, o el vector fuerza de una pareja tirando de una piedra.
- La unidad de medida de la fuerza en el Sistema Internacional de Unidades es el Newton (N).
- Una equivalencia muy utilizada es el kgf (kilogramo-fuerza) y kp (kilopondio), donde aproximadamente 1 kp = 9,806 N ≈ 10 N.
Aunque la mecánica clásica considera a los sólidos como cuerpos rígidos e indeformables, en realidad las fuerzas exteriores aplicadas producen en ellos deformaciones de diversa naturaleza. El estudio de estas deformaciones es de gran interés y constituye el objeto de la Resistencia de Materiales.
La resistencia es la capacidad de un cuerpo para soportar una carga sin romperse. Sin embargo, es posible que dicha carga produzca una deformación que supere los límites admisibles desde el punto de vista constructivo, sin que el cuerpo llegue a romperse.
La capacidad de los cuerpos para resistir las fuerzas exteriores manteniendo aparentemente su forma original se denomina rigidez. A mayor rigidez, mayor debe ser la fuerza necesaria para producir la misma deformación.
A las fuerzas externas que actúan sobre los elementos las denominamos cargas. Las cargas pueden ser:
- Concentradas: Actúan en una superficie de contacto despreciable en relación con la superficie total del cuerpo.
- Distribuidas: Actúan sobre una superficie considerable, pudiendo ser uniformemente distribuidas o no uniformes.
Las fuerzas internas son las reacciones causadas por las fuerzas externas que se producen en el interior de los cuerpos debido a su cohesión. A estas las llamamos esfuerzos o tensiones.
Descomponiendo la fuerza F en componentes normal y tangencial, podemos identificar los esfuerzos de tracción (σ = N/A) y los esfuerzos cortantes (τ = T/A).
Las tensiones se expresan en MPa (Megapascales), donde 1 MPa = 1 N/mm2. También pueden encontrarse con las unidades de kg/mm2, kg/cm2 o N/m2.
Según la forma de actuación de las fuerzas exteriores, los esfuerzos o tensiones se clasifican en los siguientes tipos:
Esfuerzo de Tracción
Es un esfuerzo normal (perpendicular a la sección transversal del cuerpo) que tiende a alargar sus fibras. Aparece en elementos como cadenas, cables, tornillos, etc.
Esfuerzo de Compresión
Teóricamente, se podría definir como una tracción negativa. Es un esfuerzo normal (perpendicular a la sección transversal del cuerpo) que tiende a acortar sus fibras. Aparece en elementos como arandelas, columnas, cimentaciones, etc.
Generalmente, la resistencia a la compresión suele ser superior a la de tracción, y la rotura se produce cuando aparecen grietas por aplastamiento.
Esfuerzo de Cortadura (Cizallamiento)
La fuerza está contenida en un plano o sección sobre la que se actúa. Las cargas se aplican en la misma dirección, pero en sentido contrario, y tienden a cortar la pieza mediante el deslizamiento de las secciones afectadas. En estado puro, es difícil encontrar este esfuerzo, pero en la práctica se considera que lo sufren las uniones roblonadas, soldadas, atornilladas, chavetas, pasadores y piezas sometidas a corte por cizalla o punzonado, entre otros.
El esfuerzo de cortadura de una sección se calcula como τ = F/A. El esfuerzo que soportan los materiales sometidos a cortadura es inferior al de tracción. En los aceros, en general, el valor máximo de la tensión cortante es (τMAX = σMAX /2).
Este esfuerzo cortante crea una deformación γ en la pieza, la cual se calcula mediante la fórmula γ = F/(A · G), donde G es el módulo de elasticidad transversal. Este módulo se obtiene del ensayo de cortadura (G = τ/γ) y, de forma similar al módulo de Young, representa la pendiente de la curva del ensayo de cortadura.
Esfuerzo de Torsión
Se presenta cuando las fuerzas o causas externas tienden a retorcer las piezas sobre su eje. Es un esfuerzo muy común y aparece en los árboles de transmisión de todo tipo de máquinas.
El momento de una fuerza o par torsor (respecto a un punto dado) se denomina a una magnitud obtenida como el producto vectorial del vector de posición del punto de aplicación de la fuerza (con respecto al punto al cual se toma el momento) por el vector fuerza.
El valor del momento se calcula mediante M = F · distancia. Sus unidades son N·m.
El momento de una fuerza con respecto a un punto provoca que un cuerpo gire alrededor de un eje que pase por dicho punto. Tiende a generar una aceleración angular (cambio en la velocidad de giro) en el cuerpo si este puede girar libremente. Si se aplica a un elemento fijo, el momento produce una deformación, como en los elementos sometidos a torsión (ejes de maquinaria) o a flexión (vigas).
Si a una viga circular empotrada en uno de sus extremos se le aplica un momento torsor Mt (como se muestra en la figura, si estuviera presente), se observa que las generatrices del cilindro se retuercen, formando ángulos υ respecto a la sección transversal y γ respecto de la generatriz inicial.
Las deformaciones que se producen son las siguientes: La posición relativa entre dos secciones varía en un incremento del ángulo υ, y se produce un desplazamiento entre las generatrices. Por tanto, aparecen esfuerzos cortantes (tangenciales) entre las secciones de la viga y también entre las generatrices.
Las fibras más distantes al eje son las que más se deforman, por lo tanto, el valor del esfuerzo cortante es mayor en ellas. La fibra central, que no se deforma, se denomina fibra neutra, y en ella la tensión es nula. Para el cálculo del valor del esfuerzo cortante y la deformación υ, se utilizan las siguientes fórmulas:
[Aquí se incluirían las fórmulas para el cálculo del esfuerzo cortante y la deformación por torsión.]Momento Polar de Inercia y Conceptos Relacionados
El momento polar de inercia es un valor empleado para predecir la capacidad de un objeto para resistir la torsión. Para su cálculo, es fundamental comprender los conceptos de centro de gravedad, momentos de inercia principales y polares.
Centro de Gravedad
El centro de gravedad de un cuerpo es el punto respecto al cual el momento que ejerce la fuerza de la gravedad sobre los diferentes puntos materiales que constituyen el cuerpo produce un momento resultante nulo. Es decir, la suma de todos los momentos respecto al centro de gravedad (CDG) es nula.
Centro de Fuerzas
El centro de fuerzas de un sistema es el punto respecto al cual la suma de todos los momentos es nula.
Momento de Inercia (Distribución de Masa)
El momento de inercia (I) refleja la distribución de masa de un cuerpo o de un sistema de partículas en rotación respecto a un eje de giro. Solo depende de la geometría del cuerpo y de la posición del eje de giro, no de las fuerzas que intervienen en el movimiento.
Dado un sistema de partículas y un eje arbitrario, el momento de inercia se define como la suma de los productos de las masas de las partículas por el cuadrado de la distancia r de cada partícula a dicho eje. Matemáticamente se expresa como:
[Fórmula del momento de inercia para un sistema de partículas: I = ∑ miri2]Resistencia a la Aceleración Angular
¿Cuál de estos giros resulta más difícil? El momento de inercia de un cuerpo indica su resistencia a adquirir una aceleración angular.
Ejemplos y Aplicaciones del Momento de Inercia
Un ejemplo del momento de inercia es la cantidad de movimiento angular que presenta un sólido en rotación, la cual se calcula como L = I · ω (donde ω es la velocidad angular). Si el valor de L permanece constante (por ejemplo, con el impulso que recibe una bailarina), la velocidad de giro aumenta al recoger los brazos y disminuye al extenderlos. Esto ocurre porque cuando la distancia respecto al eje de giro aumenta, el valor de I aumenta y, para mantener L constante, ω debe disminuir.
Otro ejemplo es que el momento de inercia es la resistencia que presenta un cuerpo a ser acelerado en rotación. Así, la segunda ley de Newton (F = m · a) tiene como equivalente para la rotación:
[Fórmula equivalente para rotación: τ = I · α]Los volantes de inercia, colocados en motores y prensas, son otro ejemplo. Debido a su inercia o energía, permiten que el motor siga girando incluso si encuentra una resistencia repentina. La energía cinética de un cuerpo en movimiento con velocidad v es Ec = 1/2 m v2, mientras que la energía cinética de un cuerpo en rotación con velocidad angular ω es Ec = 1/2 I ω2, donde I es el momento de inercia con respecto al eje de rotación.
Segundo Momento de Inercia o Momento de Inercia de Área
En ingeniería estructural, donde no hay rotaciones ni aceleraciones angulares significativas, el momento de inercia se transforma en el segundo momento de inercia o momento de inercia de área. Esta es una propiedad geométrica de la sección transversal de elementos estructurales, esencial para determinar valores de resistencia en esfuerzos y deformaciones en vigas (flexión) y ejes (torsión).
El segundo momento de área es una magnitud cuyas dimensiones son longitud a la cuarta potencia (por ejemplo, cm4 o m4). Dada una sección plana transversal de un elemento estructural, el segundo momento de inercia se define (para cada eje de coordenadas contenido en el plano de la sección) mediante la siguiente fórmula:
[Fórmula del segundo momento de inercia: I = ∫ y2 dA]El momento de inercia solo depende de la geometría del cuerpo y de la posición del eje de giro. La aplicación fundamental de los momentos de inercia en resistencia de materiales es el cálculo de los módulos resistentes o módulos de la sección, ya que dicho módulo se calcula como el cociente de dividir el momento de inercia de la sección (referido al eje que pasa por su centro de masas) por la distancia de dicho eje a la fibra más alejada de la sección.
A continuación, se presenta una tabla con las principales figuras geométricas y sus momentos de inercia respecto a ejes de posición destacada.
[Aquí se incluiría una tabla con los momentos de inercia de figuras geométricas comunes.]Momento o Módulo Resistente
El momento resistente o módulo resistente es una magnitud geométrica que caracteriza la resistencia de un prisma mecánico sometido a flexión. Es calculable a partir de la forma y dimensiones de la sección transversal, y representa la relación entre las tensiones máximas sobre ella y el esfuerzo de flexión aplicado.
El momento resistente flexional se designa frecuentemente mediante Wb, mientras que el momento resistente torsional es típicamente designado como WT.
Esfuerzo de Flexión
Un cuerpo está sometido a flexión cuando las fuerzas que actúan sobre él tienden a curvarlo en sentido longitudinal. Un caso típico son las vigas, diseñadas para trabajar principalmente por flexión.
Ejemplo de flexión mecánica: [Descripción de una imagen donde] un elemento como una barra se encuentra en estado de reposo; al ser sometido a una fuerza, el elemento se dobla en el mismo sentido de la fuerza.
Las piezas que soportan este esfuerzo suelen ser alargadas y pueden tener cualquier sección. A medida que se aplica la carga, sufren una deformación que genera una curvatura. En la zona inferior, el material tiende a estirarse (esfuerzos de tracción), y en la superior, a contraerse (esfuerzos de compresión). Existe una fibra de la viga que no se alarga ni se contrae; esta se denomina fibra neutra, y en ella las tensiones son nulas. En el caso de flexión pura, la fibra neutra pasa por el centro de gravedad de la sección de la viga.
Si analizamos una sección de la viga, las tensiones máximas se encuentran en las fibras más alejadas de la fibra neutra. Los valores de la tensión se calculan con las siguientes fórmulas:
[Aquí se incluirían las fórmulas de tensión por flexión: σ = M · y / I]Flexión Compuesta Plana
Se dice que una pieza está sometida a flexión compuesta plana cuando está sometida, simultáneamente, a flexión y a tracción o a compresión. Esto ocurre si todas las fuerzas exteriores aplicadas a la pieza están situadas en uno de los planos principales de flexión y las secciones planas se mantienen planas y normales a la fibra media.
Para hallar el estado de tensiones y deformaciones, se procede a la superposición de los efectos:
- El esfuerzo normal N produce unas tensiones σ = N/Área (lleva signo menos si N es compresión).
- El momento flector Mf produce unas tensiones: [Fórmula de tensión por momento flector: σf = Mf · y / I]
La tensión total será la suma de los dos valores:
[Fórmula de tensión total: σtotal = N/Área ± Mf · y / I]
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