1. Fundamentos de la Utilidad Esperada y la Aversión al Riesgo

1.i. Definición de la Utilidad Esperada y sus Componentes

La utilidad esperada es el valor promedio ponderado de las utilidades que un individuo asigna a cada resultado posible, según sus respectivas probabilidades. Se define como:

EU = ∑ pᵢ · u(cᵢ)

Donde:

• pᵢ: es la probabilidad del estado i.
• cᵢ: es el consumo o resultado en ese estado.
• u(cᵢ): es la utilidad del consumo en el estado i.
• u(·): representa las preferencias del individuo.

Este modelo permite comparar loterías (combinaciones de resultados y probabilidades) según la utilidad que generan en promedio.

1.ii. Características de la Utilidad Esperada para Individuos Aversos al Riesgo

Un individuo es averso al riesgo si prefiere el valor cierto de una lotería a la lotería misma. Matemáticamente, esto se representa con una función de utilidad cóncava, es decir:

u»(c) < 0

Esta concavidad refleja rendimientos marginales decrecientes de la riqueza y garantiza que:

u(E[c]) > EU

Es decir, la utilidad del valor esperado es mayor que la utilidad esperada de la lotería.

1.iii. Tasa Marginal de Sustitución de la Riqueza entre Estados de la Naturaleza

La tasa marginal de sustitución (TMS) entre dos estados mide cuánta riqueza un individuo está dispuesto a sacrificar en un estado para obtener más en otro, manteniendo su utilidad constante. Se define como:

TMS = u'(c₁) / u'(c₂)

Es importante porque, en equilibrio, la TMS debe igualarse a la tasa de intercambio del mercado entre esos estados. Así se determina la combinación óptima de consumo contingente que maximiza la utilidad esperada del individuo.

2. Medidas de Aversión al Riesgo

2.i. Diferencia entre Riesgo Absoluto y Riesgo Relativo

El riesgo absoluto mide la sensibilidad de un individuo ante una cantidad fija de riesgo monetario. Se calcula como:

ARA(c) = -u»(c) / u'(c)

El riesgo relativo ajusta la medida de aversión al riesgo según el nivel de riqueza, comparando riesgos proporcionales al ingreso. Se define como:

RRA(c) = -c · u»(c) / u'(c)

El riesgo absoluto se usa cuando el cambio monetario es fijo; el relativo, cuando el cambio es proporcional a la riqueza.

2.ii. Índice de Aversión al Riesgo Relativo Constante (CRRA)

El índice de aversión relativa al riesgo es: RRA(c) = -c · u»(c) / u'(c). Cuando este valor es constante para todo nivel de riqueza c, se dice que el individuo tiene CRRA (Aversión Relativa al Riesgo Constante). En este caso, su actitud frente al riesgo no cambia, aunque su ingreso varíe. Es típico de funciones del tipo: u(c) = (c^(1 – γ)) / (1 – γ), con γ ≠ 1, donde γ representa el grado constante de aversión relativa al riesgo.

2.iii. Cálculo del Índice de Aversión al Riesgo Relativo para u(c) = √c

Dado u(c) = √c = c^(1/2), se tiene:

• u'(c) = 1 / (2√c)
• u»(c) = -1 / (4c^(3/2))

Por lo tanto, el índice de aversión al riesgo relativo es:

RRA(c) = -c * (u»(c)/u'(c)) = -c * (-1/(4c^(3/2))) / (1/(2√c)) = 0.5

3. Revisión de Probabilidades y Asimetría de Información

3.i. Definición de Servicio de Mensajes

Un servicio de mensajes es un sistema que asigna una probabilidad a cada mensaje que puede recibirse, condicionado a que un determinado estado del mundo sea verdadero. Se debe considerar el servicio y no un mensaje puntual porque lo relevante es cómo ese mensaje se habría generado en cada estado. Lo que permite actualizar las creencias no es solo el contenido del mensaje, sino cómo se distribuyen los mensajes según los estados posibles.

3.ii. Concepto y Ejemplo de Verosimilitud de un Mensaje

La verosimilitud de un mensaje es la probabilidad de recibir ese mensaje si un determinado estado del mundo es verdadero. Se expresa como:

P(m | s)

Ejemplo: Si en el estado de ‘alta inflación’ hay un 70% de probabilidad de que un economista diga ‘el Banco Central debería subir la tasa’, entonces la verosimilitud de ese mensaje en ese estado es 0.7.

3.iii. Funcionamiento de la Revisión de Probabilidades

La revisión de probabilidades se basa en la regla de Bayes: actualiza las creencias del individuo sobre los estados del mundo tras recibir un mensaje. Se calcula como:

P(s | m) = [P(m | s) · P(s)] / ∑ P(m | s_j) · P(s_j)

La nueva distribución se diferencia más de la original cuando el mensaje recibido presenta verosimilitudes muy distintas entre los estados, es decir, cuando el mensaje es muy informativo.

4. Contratos Lineales y Diseño de Incentivos

4.i. Rol del Parámetro Alfa (α) en Contratos Lineales

El parámetro α representa el pago fijo del contrato. Se utiliza para asegurar que el agente obtenga al menos su utilidad de reserva. La restricción es que α debe fijarse de forma que se cumpla la restricción de participación del agente.

4.ii. Rol del Parámetro Beta (β) en Contratos Lineales

El parámetro β representa el incentivo variable: cuánto aumenta el pago del agente cuando aumenta el resultado observable z. Debe respetar la restricción de incentivos, es decir, que el agente tenga la motivación adecuada para esforzarse. Si β es muy bajo, el agente no se esfuerza; si es muy alto, asume demasiado riesgo.

4.iii. Incorporación de Nuevas Variables Aleatorias en Contratos Lineales

Incluir una nueva variable aleatoria en z implica modificar el contrato. Por ejemplo, si z = e + x + y, donde y es la nueva señal (como un índice de palabras pesimistas generado por IA), el contrato se ajusta a: w = α + β(e + x + y). Esto puede aumentar la precisión del indicador de esfuerzo si y está correlacionado con el esfuerzo o el entorno relevante. Sin embargo, también aumenta el riesgo para el agente si introduce más variabilidad. El diseño debe equilibrar ambos efectos.

5. El Problema Principal-Agente y el Riesgo Moral

5.i. Componentes de un Problema Principal-Agente

Un problema Principal-Agente tiene los siguientes componentes:

• Asimetría de información: el esfuerzo del agente no es observable.
• Contrato: el principal diseña un esquema de pagos.
• Restricciones: participación (que el agente acepte el contrato) e incentivos (que el agente elija el esfuerzo deseado por el principal).
• Resultado aleatorio: depende del esfuerzo del agente y de un shock externo.

5.ii. Restricciones en Casos de Riesgo Moral (Asimetría Post-Contractual)

Las dos restricciones clave en un caso de riesgo moral (asimetría post-contractual) son:

1. Restricción de participación: El contrato debe garantizar al agente una utilidad al menos igual a su utilidad de reserva, asegurando que acepte el acuerdo.
2. Restricción de incentivos: El contrato debe inducir al agente a elegir el nivel de esfuerzo que el principal desea, maximizando así el beneficio conjunto o del principal.

5.iii. Efecto de la Eliminación del Ticket Moderador según la Teoría del Riesgo Moral

El ticket moderador reduce el uso excesivo de servicios. Si se elimina, el agente (por ejemplo, un paciente) ya no paga nada por cada uso adicional, lo que aumenta la demanda de consultas y medicamentos. Desde la perspectiva de la teoría del riesgo moral, al reducirse el costo marginal para el agente, se genera un sobreuso del servicio, lo cual es un comportamiento típico de riesgo moral post-contractual.

6. Selección Adversa y Asimetría Pre-Contractual

6.i. Línea de Tiempo de un Problema de Selección Adversa

Un problema de selección adversa, caracterizado por una asimetría pre-contractual, sigue la siguiente línea de tiempo:

1. La naturaleza asigna un tipo al agente (por ejemplo, productivo o no productivo).
2. El agente observa su propio tipo (información privada).
3. El principal diseña un contrato o un menú de contratos.
4. El agente elige el contrato que más le conviene según su tipo.

6.ii. Definición de Equilibrio Agrupador y Equilibrio Separador

• Equilibrio Agrupador: Todos los tipos de agente eligen el mismo contrato. El principal no logra distinguir entre ellos.
• Equilibrio Separador: Cada tipo de agente elige un contrato distinto. Esto permite revelar la información privada de cada tipo.

6.iii. Ineficiencia de un Contrato Único Basado en Probabilidades Promedio

Ofrecer un contrato único usando las probabilidades promedio de la población no es una buena idea porque genera selección adversa. Los agentes con características desfavorables (por ejemplo, baja productividad o alto riesgo) son los más propensos a aceptar el contrato, mientras que los agentes con características favorables son disuadidos. Esto deteriora la eficiencia del acuerdo, ya que el contrato atrae a los agentes «malos» y espanta a los «buenos».

Etiquetas: aversión al riesgo, contratos lineales, incertidumbre económica, probabilidad bayesiana, riesgo moral, selección adversa, teoría de la decisión, utilidad esperada