Probabilidad: Conceptos y Sesgos Cognitivos

La Ley de los Grandes Números establece que cuando se realiza repetidamente una experiencia aleatoria, cuantas más veces se realice, mayor será la probabilidad de que la probabilidad experimental y la probabilidad teórica se aproximen tanto como deseemos.

Métodos de Simulación de Experimentos Aleatorios

Las simulaciones son útiles para comprobar resultados, especialmente en experimentos con grandes cantidades de datos, a menudo asistidos por ordenador.

• Simulación con ruletas: En una hoja, se dibuja un círculo y se divide en sectores, uno por cada suceso, calculando los ángulos correspondientes (ángulo = probabilidad x 360º). Usando un clip como aguja, se gira y se anota el sector donde se detiene.
• Simulación con tablas de números aleatorios: Se asignan rangos de números a cada suceso. Por ejemplo, si un suceso tiene una probabilidad del 10%, se le asignan 10 números (ej., del 00 al 09) en una tabla de números aleatorios.

El razonamiento probabilístico intuitivo de las personas es a menudo erróneo, lo que lleva a asignaciones equivocadas de probabilidades y a la toma de decisiones inadecuadas. Estas formas erróneas de razonamiento se conocen como heurísticas. Se distinguen dos tipos principales:

Heurística de la Representatividad

Esta heurística implica juzgar la probabilidad de un evento basándose en qué tan bien representa o se asemeja a un prototipo o estereotipo, ignorando otros factores estadísticos.

• Relacionar la probabilidad de un suceso con la probabilidad de cierto conjunto de sucesos de la población total: Al lanzar una moneda 6 veces, secuencias como C X C X C X o C C C C C X son equiprobables, ya que cada lanzamiento es independiente (probabilidad de cada secuencia = (1/2)^6 = 1/64). Sin embargo, se tiende a creer que la primera es más probable por parecer ‘más aleatoria’.
• Relacionar la probabilidad de un suceso con la probabilidad de un resultado en el proceso de extracción de muestras: La probabilidad de obtener 3 caras y 3 cruces en 6 lanzamientos sigue una distribución binomial, y no es simplemente la probabilidad de sacar 3 caras.
• Considerar equivalentes muestras pequeñas y muestras grandes: Algunas personas creen que la probabilidad de 9/10 y 90/100 son equivalentes en términos de representatividad de un suceso. Sin embargo, la probabilidad de obtener sucesos extremos disminuye a medida que aumenta el número de experimentos realizados (Ley de los Grandes Números).
• Relacionar la probabilidad de un suceso con la distribución de probabilidades teóricas (Falacia del Jugador): Si han salido 5 caras consecutivas, se cree erróneamente que la siguiente será cruz. Esto es incorrecto, ya que cada lanzamiento es un evento independiente de los anteriores, por lo que la probabilidad de que salga cara o cruz sigue siendo 1/2.

Heurística de Disponibilidad

Esta heurística se basa en la facilidad o dificultad con la que se recuerda o se imagina un suceso. Cuanto más fácil sea recordar o imaginar un evento, más probable se percibe.

• La facilidad o dificultad con la que se recuerda o se imagina un suceso influye en la percepción de su probabilidad. Por ejemplo, muchas personas creen que hay más comités de 2 personas que de 8 en un grupo grande (ej. de 10 personas), porque les resulta más fácil imaginar o recordar la formación de grupos pequeños. Sin embargo, en ciertos contextos (como C(n,k) vs C(n, n-k)), el número de combinaciones puede ser el mismo.

Errores en la Identificación de Dependencia entre Sucesos

Existen errores comunes al identificar la relación de dependencia o interdependencia entre sucesos:

• Falsa independencia de sucesos: Se cree erróneamente que un suceso posterior no puede estar condicionado por sucesos anteriores, incluso cuando existe una relación causal o probabilística.
• Falsa dependencia de sucesos: Se perciben patrones o relaciones de dependencia donde no existen, atribuyendo causalidad a eventos aleatorios o no relacionados.
• No identificar el verdadero suceso condicionante: Fallar en reconocer el evento o la información que realmente condiciona la probabilidad de otro suceso.

Un ejemplo clásico de estos sesgos es el Juego de Monty Hall: En este juego, un concursante elige una de tres puertas, una de las cuales esconde un premio y las otras dos, cabras. Después de la elección inicial, el presentador, que sabe dónde está el premio, abre una de las puertas no elegidas por el concursante, revelando una cabra. Luego, ofrece al concursante la opción de cambiar su elección de puerta. Aunque intuitivamente parezca que no importa cambiar, las probabilidades demuestran que es ventajoso cambiar de puerta, aumentando la probabilidad de ganar del 1/3 inicial al 2/3.

Medida: Conceptos Fundamentales y Cálculo de Áreas

La unidad de área se define como la cantidad de superficie que ocupa una baldosa común (generalmente un cuadrado). La medida del área de una superficie es la cantidad de unidades de área necesarias para recubrir completamente dicha superficie. Aunque normalmente se utiliza el cuadrado como unidad, no siempre es lo más útil, por lo que se utiliza la estrategia de transformar la superficie en otra que se ajuste mejor a la forma de la unidad de medida elegida.

Aproximaciones en la Medida de Áreas

En muchas ocasiones, nos encontramos con superficies que no se pueden medir con métodos exactos, especialmente con formas curvilíneas. En estos casos, solo podemos recurrir a aproximaciones:

• Medir por defecto: Consiste en contar los cuadrados completos que están contenidos dentro de la figura.
• Medir por exceso: Consiste en contar todos los cuadrados necesarios para cubrir la figura entera (incluyendo los que solo la tocan parcialmente).

Luego, se promedia el resultado de ambas mediciones para obtener una aproximación más precisa. Si la unidad de medición utilizada es un cuadrado compuesto por 9 unidades más pequeñas, al realizar el conteo, el resultado final debe dividirse entre 9 para obtener el área en la unidad mayor.

Relación entre Lado y Área de un Cuadrado

La relación entre la medida del lado y el área de un cuadrado es fundamental. Si el lado mide 2 unidades, el área será 2² = 4 unidades cuadradas. Por lo tanto, la regla general es que si el lado mide ‘x’, el área será x².

Formación de Áreas: Derivación de Fórmulas Geométricas

Área del Rectángulo y el Paralelogramo

El área del rectángulo es igual al área del paralelogramo (base · altura). Esto se debe a que un triángulo de un extremo del paralelogramo puede trasladarse al otro extremo para formar un rectángulo. Por lo tanto, el área de ambos es b·h.

Área del Paralelogramo y el Triángulo

Si duplicamos un triángulo y giramos una de las copias 180º, obtenemos un paralelogramo con la misma base y la misma altura que el triángulo original. Para hallar la fórmula del área del triángulo, se divide la del paralelogramo entre 2. Así, el área del triángulo es (b·h)/2.

Área del Rombo y el Rectángulo

Si cortamos un rombo por sus diagonales y reordenamos los cuatro triángulos resultantes, podemos formar un rectángulo. El área de este rectángulo es el doble que la del rombo. Dado que la base y la altura de este rectángulo son equivalentes a las diagonales del rombo (D y d), la fórmula del área del rombo es (D·d)/2.

Área del Trapecio y el Paralelogramo

Si duplicamos un trapecio y lo giramos 180º, obtenemos un paralelogramo. La base de este paralelogramo será la suma de la base mayor (B) y la base menor (b) del trapecio original, y su altura será la misma que la del trapecio. Por lo tanto, el área del trapecio es la mitad del área de este paralelogramo: ((B+b)·h)/2.

Alternativamente, un trapecio puede dividirse en dos triángulos (o un triángulo y un rectángulo, dependiendo del tipo de trapecio). Si se divide por una de sus diagonales, el área del trapecio sería la suma de las áreas de los dos triángulos resultantes, cuyas bases serían la base mayor y la base menor del trapecio, respectivamente, y su altura sería la altura del trapecio.

Área del Polígono Regular

Un polígono regular puede dividirse en tantos triángulos isósceles como lados tiene, todos con su vértice en el centro del polígono. El lado del polígono es la base de cada triángulo, y la apotema del polígono es la altura de cada triángulo. Por lo tanto, el área de cada triángulo es (lado · apotema) / 2. Para obtener el área total del polígono, se multiplica el área de un triángulo por el número de lados, lo que resulta en (perímetro · apotema) / 2.

Área del Círculo como Límite de un Polígono Regular

A medida que el número de lados de un polígono regular inscrito en un círculo tiende a infinito, su perímetro se aproxima a la longitud de la circunferencia (2πR), y su apotema se aproxima al radio (R). Aplicando la fórmula del área del polígono (perímetro · apotema / 2), obtenemos el área del círculo: (2πR · R) / 2 = πR².

Formación de Conceptos Matemáticos

El Modelo de Vinner

El Modelo de Vinner es fundamental para comprender el aprendizaje de conceptos matemáticos y la modificación de ideas erróneas. Se basa en una serie de ideas fundamentales:

• Concepto matemático: Se refiere al concepto matemático en sí mismo, con su definición formal y propiedades intrínsecas, tal como existe en las matemáticas.
• Imagen del concepto: Es la representación mental que el estudiante construye al interactuar con el concepto (al verlo, escucharlo o describirlo). Esta imagen incluye no solo representaciones visuales (figuras, dibujos) sino también las propiedades asociadas al concepto en la mente del estudiante. Es importante destacar que las propiedades incluidas en la imagen conceptual pueden no ser siempre relevantes o correctas.
• Definición del concepto: Es la formulación verbal que el estudiante puede dar del concepto. Es importante distinguir entre la definición formal y completa del concepto y la definición que el estudiante es capaz de verbalizar, que puede ser incompleta o inexacta.

Un estudiante puede tener una imagen correcta de una figura geométrica, pero no necesariamente significa que pueda verbalizar su definición correctamente.

¿Cómo Enseñar un Concepto Nuevo?

Tradicionalmente, al enseñar un concepto nuevo, tanto profesores como libros de texto suelen presentar primero la definición formal del concepto. Sin embargo, Vinner argumenta que las definiciones, por sí solas, a menudo se utilizan como meros ejercicios de reconocimiento de figuras concretas. Para que una definición sea efectiva, debe:

1. Establecer claramente qué es el concepto.
2. Proponer ejercicios que permitan al estudiante aplicar y reconocer el concepto en diversas situaciones.

Es crucial poner mayor énfasis en la forma de definir los conceptos, ya que los ejemplos y las experiencias prácticas generan un efecto mental más duradero, que conforma la imagen del concepto.

La imagen del concepto es lo que se evoca cuando se lee o se escribe el nombre de ese concepto. Para conceptos geométricos, la imagen conceptual se forma a partir de figuras, dibujos, representaciones y las propiedades que el estudiante asocia al concepto. Las propiedades incluidas en la imagen conceptual pueden no ser siempre relevantes o correctas.

Etiquetas: cálculo de áreas, fórmulas geométricas, heurísticas cognitivas, ley de los grandes números, medida de área, probabilidad, sesgos probabilísticos, simulación matemática