Matrices

Una matriz es el conjunto de valores distribuidos en filas y columnas. Se denomina matriz real a aquella que está formada por números reales. Para caracterizar una matriz se utiliza una letra mayúscula y se indica el tamaño de la misma, definido por el orden de dicha matriz.

Orden

El orden es la cantidad de filas y de columnas que posee la matriz, se determina multiplicando el número de filas por el de columnas.

Conjunto de matrices reales

El conjunto de todas las matrices reales que tiene “m” filas y “n” columnas se simboliza mediante R (M_mx_n), por ejemplo: (4×3), es el conjunto de todos los M_mx_n que tiene 4 filas y 3 columnas.

Expresión general de una matriz

Una matriz de m filas y n columnas se define mediante:

A(M_mx_n) = [ A₁₁ A₁₂ A₁₃ … ]

                A₂₁ A₂₂ A₂₃

Elemento genérico

Se define utilizando una letra minúscula y considerando como subíndice otras 2 letras que determinan su posición; la primera indica la fila y la segunda la columna. Un elemento genérico de una matriz “A” se simboliza mediante: a_ij.

Definición de una matriz mediante su elemento genérico

Una matriz A de m filas y n columnas se define de la siguiente manera: A_mx_n = [a_ij] _mx_n.

Tipos de matrices

• Matriz rectangular: tiene diferente número de filas que de columnas (m distinto de n).
• Matriz cuadrada: es aquella que tiene el mismo número de filas que de columnas (m = n).
• Matriz fila: tiene una sola fila (m = 1).
• Matriz columna: tiene una sola columna (n = 1).
• Matriz nula: tiene todos sus elementos iguales a cero, es decir: a_ij = 0 para todo i y j.
• Matriz triangular superior: es una matriz cuadrada cuyos elementos situados debajo de la diagonal principal son iguales a cero, es decir, a_ij = 0 si i > j.
• Matriz triangular inferior: es una matriz cuadrada cuyos elementos situados arriba de la diagonal principal son iguales a cero, es decir, a_ij = 0 si i < j.
• Matriz diagonal: es aquella matriz cuadrada cuyos elementos ubicados fuera de la diagonal principal son iguales a cero: a_ij = 0 si i distinto de j.
• Matriz escalar: es aquella matriz diagonal cuyos elementos ubicados sobre la diagonal principal son iguales a un determinado número k (escalar), es decir: A_ij = k si i = j, 0 si i es distinto de j.
• Matriz identidad: es aquella matriz escalar cuyos elementos ubicados en la diagonal principal son todos iguales a 1, es decir: A_ij = 1 si i = j, 0 si i es distinto de j.
• Matriz simétrica: es la matriz cuadrada que tiene iguales los elementos situados simétricamente con respecto a la diagonal principal, es decir: a_ij = a_ji.
• Matriz asimétrica: es una matriz cuadrada que tiene opuestos a los elementos situados simétricamente con respecto a la diagonal principal y los elementos ubicados en la diagonal principal iguales a cero, es decir: a_ij = -a_ji si i distinto de j, 0 si i = j.

Igualdad de matrices

Dos matrices son iguales cuando tienen el mismo orden y los elementos homónimos son iguales.

Si A_mx_n = [A_ij] _mx_n y B = [B_ij] _px_q son iguales.

Suma de matrices

La suma de 2 matrices de igual orden da como resultado una matriz del mismo orden que las dadas. Sus elementos se obtienen sumando los elementos homónimos, es decir:

Dadas 2 matrices A_mx_n = [a_ij] _mx_n y B_mx_n = [b_ij] _mx_n, se tiene:

A_mx_n + B_mx_n = [a_ij + b_ij] _mx_n.

Aclaración: si 2 matrices no tienen el mismo orden, la suma no se puede realizar.

Resta de matrices

La resta de matrices se define utilizando la opuesta de una matriz. Restar una matriz A con otra matriz B equivale a sumarle a la primera lo opuesto de la segunda, es decir:

A_mx_n – B_mx_n = A_mx_n + (-B_mx_n) = [a_ij] _mx_n + [-b_ij] _mx_n = [a_ij – b_ij] _mx_n.

Multiplicación de matrices (número o escalar) por una matriz

La multiplicación de un escalar con una matriz da como resultado una matriz que resulta de multiplicar el escalar por cada elemento de la matriz inicial, es decir:

Dado R escalar k y la matriz A_mx_n: k × A_mx_n = k [a_ij] _mx_n = [k·a_ij] _mx_n.

Multiplicación de 2 matrices

Para multiplicar 2 matrices se debe tener en cuenta las siguientes condiciones:

• La cantidad de columnas de la primera debe coincidir con la cantidad de filas de la segunda.
• La operación se realiza entre los elementos de las filas de la primera con los elementos de la segunda correspondiente.

Matriz inversa

Aclaración: no todas las matrices cuadradas tienen sus inversas correspondientes.

Matriz singular: es aquella matriz cuadrada que no tiene inversa.

Matriz no singular o regular: es aquella matriz cuadrada que tiene inversa.

Operaciones elementales

Son las que se realizan con las filas:

1. Permutar 2 filas entre sí.
2. Multiplicar o dividir los elementos de una fila por un número diferente de cero.
3. Sumar a una fila otra fila.
4. Combinación de las operaciones anteriores.

Matrices equivalentes

Dos matrices son equivalentes cuando, mediante la aplicación de operaciones elementales con filas a una de ellas, se puede obtener la otra.

Método de Gauss-Jordan para hallar la inversa de una matriz

Dada la matriz cuadrada A, el procedimiento consiste en colocar al lado de la matriz la matriz identidad, es decir, [A | I].

2) Aplicar las operaciones elementales hasta obtener las matrices equivalentes:

I A´, A´ sería la inversa de A, es decir: A´ = A^-1.

Aclaración: Si aplicando las operaciones elementales no se obtiene la matriz identidad, entonces la matriz original no tiene inversa. Para obtener la matriz identidad se deben seguir los siguientes pasos:

• Obtener el 1 de la primera columna.
• Hallar los ceros de la primera columna.
• Obtener el 1 de la segunda columna.
• Hallar los ceros de la segunda columna.

Etiquetas: matrices, matrices reales, matriz inversa, operaciones con matrices, tipos de matrices