30 Dic
1. Estimación de la presión inicial en un recipiente rígido de vapor
Problema: Un recipiente rígido contiene vapor de agua a 250 °C, a una presión desconocida. Cuando el recipiente se enfría a 124 °C, el vapor comienza a condensarse. Estime la presión inicial en el recipiente.
Datos:
- T₁: 250 °C = 523,15 K
- T₂: 124 °C = 397,15 K
- Presión de saturación a 124 °C (P₂): 0,26 MPa
- Volumen del recipiente: Constante (rígido)
Solución:
Cuando el vapor comienza a condensarse a 124 °C, la presión es igual a la presión de saturación: P₂ = 0,26 MPa.
Suponiendo que el vapor se comporta como gas ideal antes de la condensación, se cumple la relación:
P₁ / T₁ = P₂ / T₂, por lo que P₁ = P₂ × (T₁ / T₂)
Sustituyendo los valores:
P₁ = 0,26 × (523,15 / 397,15) ≈ 0,26 × 1,316 ≈ 0,342 MPa
Respuesta: La presión inicial del vapor en el recipiente es aproximadamente 0,34 MPa.
2. Cálculo de la potencia mínima en un ventilador de aire
Problema: Un ventilador debe acelerar aire desde el reposo a una velocidad de 8 m/s a razón de 9 m³/s. Calcule la potencia mínima que debe alimentarse al ventilador. Suponga que la densidad del aire es 1,18 kg/m³.
Datos:
- Velocidad del aire (v): 8 m/s
- Caudal volumétrico (Q): 9 m³/s
- Densidad del aire (ρ): 1,18 kg/m³
Solución:
La potencia mínima requerida se obtiene de la energía cinética del aire:
Fórmula de Potencia: P = 1/2 × ṁ × V²
1. Calcular el flujo másico (ṁ):
ṁ = ρ × Q
ṁ = 1,18 × 9 ≈ 10,62 kg/s
2. Sustituir en la fórmula de potencia:
P = 0,5 × 10,62 × 8²
Primero, 8² = 64
P = 0,5 × 10,62 × 64
P = 5,31 × 64 ≈ 339,8 W
R: 340 W.
3. Determinación de la presión absoluta en un recipiente con manómetro de aceite
Problema: Un manómetro que contiene aceite (ρ = 850 kg/m³) se conecta a un recipiente lleno de aire. Si la diferencia del nivel de aceite entre ambas columnas es de 36 cm y la presión atmosférica es de 98 kPa, determine la presión absoluta del aire en el recipiente.
Datos:
- Densidad del aceite (ρ): 850 kg/m³
- Diferencia de altura (h): 36 cm = 0,36 m
- Presión atmosférica (Patm): 98 kPa
- Gravedad (g): 9,81 m/s²
Solución:
La presión absoluta del aire se obtiene sumando la presión atmosférica y la presión manométrica ejercida por la columna de aceite:
Pabs = Patm + ρ · g · h
1. Calcular la presión debida al aceite (ΔP):
ΔP = ρ · g · h
ΔP = 850 × 9,81 × 0,36
ΔP = 8338,5 × 0,36 ≈ 3001,9 Pa ≈ 3,00 kPa
2. Presión absoluta del aire:
Pabs = 98 + 3 ≈ 101 kPa
Respuesta: La presión absoluta del aire en el recipiente es aproximadamente 101 kPa.
4. Equilibrio térmico y presión final en recipientes conectados
Problema: Un recipiente de 1 m³ con aire a 25 °C y 500 kPa se conecta con otro recipiente que contiene 5 kg de aire a 35 °C y 200 kPa, a través de una válvula. La válvula se abre y se deja que todo el sistema llegue al equilibrio térmico con los alrededores, que están a 20 °C. Determine el volumen del segundo recipiente y la presión final de equilibrio del aire.
Datos:
Recipiente 1:
- V₁ = 1 m³
- T₁ = 25 °C = 298 K
- P₁ = 500 kPa
Recipiente 2:
- m₂ = 5 kg
- T₂ = 35 °C = 308 K
- P₂ = 200 kPa
- Temperatura de equilibrio (Tₑ): 20 °C = 293 K
- Constante del aire (R): 0,287 kPa·m³/(kg·K)
Solución:
1. Determinar el volumen del segundo recipiente:
Usamos la ecuación de gas ideal: V₂ = (m₂ · R · T₂) / P₂
Sustituyendo los valores:
V₂ = (5 × 0,287 × 308) / 200
V₂ ≈ 2,21 m³
2. Determinar la presión final de equilibrio:
Primero calculamos la masa del aire en el primer recipiente (m₁):m₁ = (P₁ · V₁) / (R · T₁)
m₁ = (500 × 1) / (0,287 × 298) ≈ 5,85 kg
Masa total:
m_total = m₁ + m₂ = 5,85 + 5 = 10,85 kg
Volumen total:
V_total = V₁ + V₂ = 1 + 2,21 ≈ 3,21 m³
Presión final (P_f):P_f = (m_total · R · T_e) / V_total
P_f = (10,85 × 0,287 × 293) / 3,21 ≈ 284 kPa
Respuesta:
- Volumen del segundo recipiente: V₂ ≈ 2,21 m³
- Presión final de equilibrio: Pf ≈ 284 kPa
5. Potencia adicional de un motor en una pendiente
Problema: Considere un automóvil de 4000 kg a una velocidad constante de 80 km/h sobre una carretera plana que después empieza a subir por una cuesta de 30° con respecto a la horizontal. Si la velocidad del automóvil debe permanecer constante durante la subida, determine la potencia adicional que debe suministrar el motor en kW.
Datos:
- Masa del automóvil (m): 4000 kg
- Velocidad (v): 80 km/h = 22,22 m/s
- Ángulo de la cuesta (θ): 30°
- Gravedad (g): 9,81 m/s²
Solución:
La fuerza adicional necesaria para vencer la componente del peso en la pendiente es:F_adi = m · g · sin(θ)
F_adi = 4000 × 9,81 × sin(30°) = 19.620 N
La potencia adicional se calcula como el producto de la fuerza por la velocidad:Potencia_adi = F_adi × V
P_adi = 19.620 × 22,22 = 435.956 W ≈ 436 kW
(Nota: El cálculo original indicaba 435 kW basándose en redondeos intermedios).
6. Aplicación del Principio de Pascal en un elevador hidráulico
Problema: Un elevador hidráulico consta de dos émbolos de sección circular de 3 y 60 cm de radio, respectivamente. ¿Qué fuerza hay que aplicar sobre el émbolo menor para elevar un objeto de 2000 kg de masa colocado en el émbolo mayor?
Datos:
- Radio del émbolo menor (r₁): 3 cm
- Radio del émbolo mayor (r₂): 60 cm
- Masa del objeto (m): 2000 kg
- Gravedad (g): 9,81 m/s²
Solución:
Principio de Pascal
La presión es la misma en ambos émbolos: F₁ / A₁ = F₂ / A₂
Relación de áreas
Como los émbolos son circulares, el área es proporcional al cuadrado del radio:A₁ / A₂ = (r₁²) / (r₂²)
A₁ / A₂ = (3²) / (60²) = 9 / 3600 = 1 / 400
Fuerza sobre el émbolo mayor (F₂)
F₂ = m · g = 2000 × 9,81 = 19.620 N
Fuerza necesaria en el émbolo menor (F₁)
F₁ = F₂ × (A₁ / A₂)
F₁ = 19.620 × (1 / 400) ≈ 49,05 N
Respuesta:
La fuerza que debe aplicarse sobre el émbolo menor es aproximadamente 49 N.
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