Fases del Aprendizaje de la Medida: Cantidad y Magnitud

• Consideración y percepción de una magnitud: Se entiende como una propiedad inherente a una colección de objetos.
• Conservación de la magnitud: Aunque el objeto cambie de posición, forma, tamaño o color, la magnitud permanece constante.
• Ordenación respecto a una magnitud dada: Se realiza sin considerar otras magnitudes distintas de la analizada.
• Relación entre magnitud y número: Este es el momento en que el niño es capaz de medir.

Etapas del Desarrollo de la Noción de Medida

Etapa Inicial: Comparación Perceptiva Directa

• No muestran indicios de captar la idea de conservación ni de transitividad.
• Si se le pide al niño que construya con bloques una torre de la misma altura que otra dada, solo se fijará en la parte superior sin preocuparse de si las bases están a la misma altura.
• No miden, sino que realizan estimaciones de las medidas basándose en su percepción visual de los objetos. No intentan usar instrumentos de medida.

Etapa Intermedia: Comparación Directa

• Utilizan instrumentos de medida para comparar objetos, pero de manera incorrecta.
• Las unidades de medida que usan deben ser mayores que los objetos; no saben usar unidades más pequeñas.
• Comparan aproximando un objeto al otro (por ejemplo, superponiendo dos piezas de cartulina para comparar sus áreas).
• Usan unidades de medida pequeñas (dedos, palmos) para comparaciones (surge la transitividad). Posteriormente, utilizan otras más independientes, como lápices o cartulinas.

Etapa Final: Transitividad Operativa

• Realizan razonamientos transitivos (utilizando un término medio que une las dos mediciones que deben comparar).
• Utilizan unidades de medida menores que los objetos (por cubrimiento, subdivisión).
• Se completa cuando aprenden cálculos de medida de magnitudes basándose en las dimensiones lineales.

Resolución de Problemas de Medida

1. Problemas Prácticos sobre Experiencias Sensoriales

Se centran en la identificación de la magnitud y la comparación de cantidades, a menudo vinculados a situaciones cotidianas (ej. una foto de clase).

2. Problemas Prácticos con Unidades e Instrumentos de Medida

Relacionados con la unidad de medida, la medición directa e indirecta, y el empleo de instrumentos de medida. Ejemplo: «Van a pintar la clase y necesitamos poner una cinta alrededor de la ventana y del armario para que no se manchen de pintura. ¿Cuánta cinta necesitamos?»

3. Problemas de Enunciado Verbal y Sistema Métrico Decimal

Vinculados a situaciones de medida, expresiones numéricas de las medidas y el sistema métrico decimal (equivalencia de unidades, etc.), en íntima relación con problemas sobre números y operaciones. Ejemplo: «Juan tiene 80 céntimos y Pedro tiene 1 euro y 30 céntimos. ¿Podrán comprar un cómic que cuesta 2 euros?»

4. Problemas Manipulativos y de Exploración

Problemas manipulativos, lúdicos, sobre situaciones familiares o personales, de exploración e investigación (ej. dibujo a escala).

Niveles de Razonamiento Geométrico de Van Hiele

Nivel 0: Visualización

• Los objetos se perciben en su totalidad como una unidad, sin diferenciar sus atributos ni componentes.
• Se describen por su apariencia física mediante descripciones meramente visuales, asemejándolos a elementos familiares del entorno. No utilizan un lenguaje geométrico básico para nombrar las figuras correctamente.
• No reconocen de forma explícita los componentes y propiedades de los objetos de estudio.

Nivel 1: Análisis

• Se perciben los componentes y propiedades (condiciones necesarias) de los objetos y figuras, obtenidos tanto de la observación como de la experimentación.
• De manera informal, pueden describir las figuras por sus propiedades, pero no relacionar unas propiedades con otras o unas figuras con otras. Dado que muchas definiciones en Geometría se elaboran a partir de propiedades, no pueden elaborar definiciones propias.
• Experimentando con figuras u objetos, pueden establecer nuevas propiedades.
• Sin embargo, no realizan clasificaciones de objetos y figuras a partir de sus propiedades.
• Empiezan a generalizar (inician el razonamiento matemático), señalando qué figuras cumplen una determinada propiedad matemática, pero consideran las propiedades como independientes, sin establecer relaciones entre ellas.

Nivel 2: Ordenación o Clasificación

• Se describen las figuras de manera formal, es decir, se señalan las condiciones necesarias y suficientes que deben cumplir. Esto es importante, ya que conlleva entender el significado de las definiciones, su papel dentro de la Geometría y los requisitos que siempre implican.
• Realizan clasificaciones lógicas de manera formal, ya que su nivel de razonamiento matemático ya está iniciado. Esto significa que reconocen cómo unas propiedades derivan de otras, estableciendo relaciones entre propiedades y las consecuencias de esas relaciones.
• Siguen las demostraciones, pero, en la mayoría de los casos, no las entienden en cuanto a su estructura. Esto se debe a que su nivel de razonamiento lógico les permite seguir pasos individuales de un razonamiento, pero no asimilarlo en su globalidad. Esta carencia les impide captar la naturaleza axiomática de la Geometría.

Nivel 3: Deducción Formal

• En este nivel ya se realizan deducciones y demostraciones lógicas y formales, comprendiendo su necesidad para justificar las proposiciones planteadas.
• Se comprenden y manejan las relaciones entre propiedades y se formalizan en sistemas axiomáticos, por lo que ya se entiende la naturaleza axiomática de las Matemáticas.
• Se comprende cómo se puede llegar a los mismos resultados partiendo de proposiciones o premisas distintas, lo que permite entender que se puedan realizar distintas formas de demostraciones para obtener un mismo resultado. Es claro que, adquirido este nivel, al tener un alto nivel de razonamiento lógico, se tiene una visión globalizadora de las Matemáticas.

Nivel 4: Rigor

• Se conoce la existencia de diferentes sistemas axiomáticos, los cuales se pueden analizar y comparar, permitiendo la comparación de distintas geometrías.
• Se puede trabajar la Geometría de manera abstracta sin necesidad de ejemplos concretos, alcanzándose el más alto nivel de rigor matemático.

Estrategias para la Suma

Recuento de Todos

Representa dos colecciones de objetos mediante algún material, las junta y las vuelve a contar todas de nuevo.

Recuento de Todos con Énfasis en el Primer Sumando

Recita los números hasta llegar al primer sumando (sin construir una colección de objetos que lo represente) y continúa contando la colección de objetos que representa al segundo sumando.

Recuento de Todos con Énfasis en el Sumando Mayor

Similar al caso anterior, pero eligiendo como primer sumando el sumando mayor.

Recuento a Partir del Sumando Mayor

Construye una colección de objetos que representa el sumando menor y la cuenta partiendo del sumando mayor.

Estrategias para la Resta

Recuento de lo que Queda

Representar mediante objetos el conjunto inicial, quitar los elementos que indica la transformación y volver a contar lo que queda.

Recuento Hacia Atrás

Contar hacia atrás desde el minuendo tantas veces como indica el sustraendo (representado mediante una colección de objetos o dedos).

Recuento de la Diferencia

Se construyen los dos conjuntos, se emparejan y se cuentan los objetos que quedan sin pareja.

Recuento Desde el Sustraendo Hasta el Minuendo

Consiste en contar desde el sustraendo hasta el minuendo, llevando la cuenta con una colección de objetos (generalmente dedos) de las palabras que se dicen. Posteriormente, se cuenta la colección de objetos.

Estrategias para la Confección de Tablas de Sumar

Propiedad Conmutativa

La propiedad conmutativa reduce a la mitad la confección de la tabla de doble entrada.

Suma de Uno

Se basa en el conteo numérico verbal: 2+1, 3+1…

Conteo Ascendente

Por conteo ascendente, sumando 2 o 3, también se pueden completar otros tantos elementos de la tabla.

Sumas Dobles

Son aquellas en las que los sumandos son iguales y están situadas en la diagonal.

Dobles Más/Menos Uno

Partiendo de los dobles, se puede deducir una serie de resultados aditivos o sustractivos: 3 + 2 = (2 + 2) + 1 o (3 + 3) – 1…, que se corresponden con las líneas inmediatamente superior e inferior con respecto a la diagonal.

Suma de Números con Diferencia de Dos Unidades

Sumar dos números que se diferencian en dos unidades equivale al doble del número que se encuentra entre ellos.

Compensación en Torno a la Decena

Ejemplo: 9 + 3 = (9 + 1) + 2…

Descomposición para Completar a Diez

Descomposición de un sumando para que el otro complete hasta 10: 8 + 5 = (8 + 2) + 3…

Suma de Nueve

Sumar 9 equivale a sumar 10 y restar 1.

Modelos para la Multiplicación y División

Modelo Lineal

• El producto n·a se modeliza formando un intervalo de longitud a-unidades y contándolo n-veces.
• La división se modeliza contando hacia atrás desde el dividendo, de tanto en tanto, según indique el divisor. El número de saltos dados sería el cociente.

Modelo Cardinal

Para la Multiplicación:

• Unión repetida de conjuntos de objetos iguales.
• Distribución de objetos en un esquema rectangular (matrices).
• Cardinal del producto cartesiano de dos conjuntos.
• Diagramas de árbol: El número total de ramas nos dará el resultado.

Para la División:

• Partes de un conjunto.
• Distribución de objetos en un esquema rectangular.

Modelos Numéricos

La multiplicación se modeliza como suma reiterada y la división como resta reiterada.

Estrategias para las Tablas de Multiplicar

Propiedad Conmutativa

El orden de los factores no altera el producto. Reduce el aprendizaje memorístico de las tablas a la mitad.

Multiplicación por 10

Un número multiplicado por 10 es igual a ese mismo número añadiéndole un cero a la derecha.

Cálculo del Doble

Doblando las multiplicaciones por 2, deducimos las multiplicaciones por 4. Las de 8 se deducen de los resultados de multiplicar por 4. La misma relación se da entre las multiplicaciones por 3 y por 6.

Cálculo de la Mitad

Como las multiplicaciones por 10 son más fáciles para los niños, se usa la mitad de dichos resultados para llegar a la construcción de las multiplicaciones por 5. También puede aplicarse esta estrategia para ir de 8 a 4, de 4 a 2 o de 6 a 3, aunque no son tan frecuentes.

Adición del Multiplicando

Apoyándose en una multiplicación por un determinado número, es posible obtener el resultado de multiplicar por el siguiente número añadiendo una vez el multiplicando (ej. 6 × 8 = 5 × 8 + 8 = 40 + 8 = 48).

Sustracción del Multiplicando

Es la estrategia simétrica a la explicada en el apartado anterior. Es especialmente útil en las multiplicaciones de 9 por cualquier otro número (ej. 9 × 7 = 10 × 7 – 7 = 70 – 7 = 63).

Producto de Dobles

No llega a tener categoría de “estrategia”, pero es un hecho que los productos de un número por sí mismo se aprenden más fácilmente y pueden servir de apoyo para el uso de cualquiera de las restantes estrategias.

Recursos Didácticos Manipulativos para la Enseñanza de las Matemáticas

El Ábaco

Consiste en un soporte de madera con una serie de varillas paralelas donde van ensartadas bolas o anillas de diferentes colores, fácilmente manipulables. Cada varilla representa un orden de unidades (sistema decimal: unidades, decenas, centenas, unidades de millar, etc.).

Utilidad:

• Contar sistemáticamente.
• Representar cantidades y números.
• Construir conocimientos sobre los sistemas de numeración y sus características.
• Familiarizarse con las distintas unidades, los cambios de unidades y las equivalencias entre ellas.
• Tomar conciencia del valor de posición de las cifras.
• Practicar procedimientos de cálculo alternativos.
• Comprender las operaciones aritméticas elementales.
• Relacionar la cantidad no estructurada con la cantidad estructurada y su representación manejable.

Bloques Multibase de Dienes

Son modelos manipulativos para los sistemas de numeración y para los algoritmos de las cuatro operaciones aritméticas básicas. Existen para distintas bases de numeración y están formados por:

• Cubos: De 1cm³ que representan las unidades (1er. orden).
• Barras: De 1cm² de base y una longitud de 10cm que representan las decenas y equivalen a 10 cubos/unidades (2º orden).
• Placas: De 10cm² de base y 1cm de altura que representan las centenas. Equivalen a 10 barras/decenas o a 100 cubos/unidades (3er. orden).
• Bloques: De 10cm³ que representan las unidades de millar y equivalen a 10 placas/centenas, 100 barras/decenas o a 1000 cubos/unidades (4º orden).

Utilidad:

• Agrupamientos cuantitativos y numéricos.
• Concepto de unidad, tipos de unidades y orden de unidades.
• Valor posicional de las cifras.
• Algoritmos de las operaciones aritméticas.
• Doble y mitad.
• Comprensión de las operaciones aritméticas.
• Iniciación a la medida de longitud, superficie y volumen.
• Números decimales.
• Fracciones y operaciones.

Regletas Cuisenaire

Formadas por barras de madera o plástico de un centímetro cuadrado de sección y de diferentes longitudes, que van desde 1cm hasta 10cm. Cada longitud lleva asociado un color, de manera que longitudes diferentes tienen colores diferentes. Cada regleta representa un número dependiendo de su longitud o del color que tenga. Las regletas tienen los siguientes colores y longitudes:

• Blanco: 1
• Rojo: 2
• Verde claro: 3
• Rosa: 4
• Amarillo: 5
• Verde oscuro: 6
• Negro: 7
• Marrón: 8
• Azul: 9
• Naranja: 10

Utilidad:

• Introducir la enseñanza del número.
• Asociar color-tamaño.
• Realizar composición y descomposición de números naturales.
• Realizar series y clasificaciones.
• Ordenar y comparar números naturales.
• Manipular operaciones aritméticas básicas y sus propiedades.
• Trabajar potencias y fracciones.

El Tangram

Juego de origen chino (madera o plástico) compuesto por 7 elementos:

• 5 triángulos de 3 tamaños diferentes: 2 grandes, 2 pequeños y 1 mediano.
• 1 cuadrado.
• 1 romboide.

Junto a las figuras geométricas, se pueden encontrar fichas donde aparecen diferentes figuras formadas empleando todos los elementos del tangram. Uniendo estas figuras se puede formar un cuadrado.

Puede utilizarse desde la etapa de infantil hasta con adultos.

Admite gran complejidad en la composición de diferentes figuras.

Regla básica de uso (adultos): Utilizar siempre los siete elementos. En el caso de los niños, no es preciso seguir la regla con el objetivo de simplificar el manejo del juego.

Utilidad:

• Reconocimiento de formas geométricas.
• Libre composición y descomposición de formas geométricas.
• Realizar giros y desplazamientos de figuras geométricas manipulativamente.
• Llegar a la noción de perímetro de los polígonos.
• Desarrollar la percepción mediante la copia de figuras y reconocimiento de formas geométricas simples en una figura compleja.
• Desarrollar la creatividad mediante composición de formas figurativas.
• Comparación y cálculo de áreas y perímetros.
• Desarrollo de la noción de unidad de medida.

El Geoplano

Por sus características, permite el paso rápido de una a otra actividad, lo que mantiene a los alumnos activos.

Recurso didáctico de carácter manipulativo y de fácil manejo para el niño.

Consiste en un tablero cuadrado (madera o plástico) dividido en cuadrículas, con un saliente en cada vértice de aproximadamente 2 cm.

Sobre esta base se colocan gomas elásticas de colores, representando las formas geométricas deseadas.

Utilidad:

• Presentación de la geometría en los primeros años de forma lúdica.
• Representación de las figuras geométricas antes de que el niño tenga destreza manual para dibujarlas.
• Desarrollar la creatividad a través de la composición y descomposición libre de figuras.
• Conseguir mayor autonomía intelectual. El niño puede ir descubriendo por sí mismo algunas figuras geométricas básicas.
• Desarrollar la reversibilidad del pensamiento. Debido a su fácil manipulación, se puede hacer y deshacer.
• Trabajar nociones topológicas básicas.
• Reconocer las formas geométricas planas.
• Comparar diferentes longitudes y superficies.
• Comprender términos abstractos y evitar la generación de ideas erróneas en torno a ellos.

Tipos:

• Cuadrado: Tablero cuadrado y dividido en cuadrículas con los clavos.
• Circular: Tablero cuadrado o circular, cuyos salientes son puntos de una circunferencia equidistantes entre sí. Además, posee un saliente central que representa el centro de la circunferencia.
• Bigeoplanos: Se utiliza un tablero lo suficientemente grueso para tener dos caras; en una el geoplano es cuadrado y por la otra es circular.

Etiquetas: desarrollo cognitivo, educación primaria, enseñanza matemáticas, geometría, medida, operaciones aritméticas, pedagogía matemática, Recursos didácticos