Tipos de Aprendizaje: Piaget y Gagné

Concepción Empirista según Piaget

Piaget la denominó «empirista», basándose en la concepción filosófica del mismo nombre que sostiene que la experiencia es la única forma de conocimiento.

El alumno aprende lo que el profesor explica en clase y no aprende nada de aquello que no explica. Esta concepción está muy extendida.

Abusa de las presentaciones ostensivas. El error está relacionado con el fracaso, ya que impide llegar al éxito en la tarea. Por tanto, se huye del error. El error se plantea como: lagunas, faltas, nociones parcialmente asimiladas.

Aprendizaje Constructivista

En todo su desarrollo existe una idea fundamental: «Aprender matemáticas es construir matemáticas».

Se basa en las siguientes hipótesis:

1. El aprendizaje se basa en la acción (Piaget).
2. La adquisición, organización e integración de los conocimientos del alumno pasa por estados transitorios de equilibrio y desequilibrio, en los que los conocimientos anteriores se ponen en duda. Cuando el desequilibrio es superado, los nuevos conocimientos se van integrando con los anteriores, apoyados en los procesos de asimilación y acomodación (Piaget).
3. Se conoce en contra de los conocimientos anteriores. Formación de obstáculos (Brousseau).
4. Los conflictos cognitivos entre miembros de un mismo grupo social pueden facilitar la adquisición de conocimientos (Vygotsky).

Relación de Divisibilidad

La relación de divisibilidad en el conjunto de los números naturales es una relación de orden. Cumple las siguientes propiedades:

Propiedades

• Reflexiva: a | a, ya que a = 1 × a.
• Antisimétrica: Si a | b y b | a, entonces a = b.

  En efecto: Si a | b, entonces b = ap. Si b | a, también a = bq. Sustituyendo, b = bpq, luego 1 = pq, por lo que p = q = 1. Luego, a = b.

• Transitiva: Si a | b y b | c, entonces a | c.

  En efecto: Si a | b, tenemos que b = ap. Si b | c, también c = bq. De donde, c = bq = apq = a(pq). Luego, concluimos que a | c.

No es una relación de orden total porque, dados dos números naturales cualesquiera, no tiene por qué ocurrir que el primero divida al segundo o el segundo divida al primero.

Definición de Divisor

Primera Definición

Dados dos números naturales a y b, decimos que a es un divisor de b si existe un número natural n tal que, multiplicado por a, es igual a b (es decir, na = b).

Segunda Definición

Dados dos números naturales a (con a ≠ 0) y b, decimos que a es un divisor de b si al efectuar la división entera de b por a se obtiene resto cero.

Estas dos definiciones son equivalentes en el caso de ser a ≠ 0. En efecto, si se cumple la primera, al dividir b entre a obtendremos cociente n y resto cero. Por otra parte, si se cumple la segunda, b tendrá que ser igual al divisor a por el cociente q, y ya hemos encontrado un número natural que, multiplicado por a, da b.

Definición de Múltiplo

Se dice que a es múltiplo de b si existe un número natural n tal que, multiplicado por b, es igual a a (es decir, a = nb).

Expresiones Equivalentes y Notación

Las siguientes expresiones son equivalentes: a es un divisor de b, b es un múltiplo de a, a divide a b, b es divisible por a. Para indicar que a es divisor de b se utiliza la notación a | b. Cuando b es un múltiplo de a, se puede expresar como b = k·a (donde k es un número natural).

Sistemas de Numeración

Reglas de los Sistemas de Numeración Posicionales

(Referencia: Actividad 1)

Las reglas de los sistemas de numeración se pueden sintetizar de la siguiente manera:

Elegido un número b > 1 como base del sistema de numeración, se utilizan b símbolos, llamados cifras o guarismos (0, 1, 2, …, b-1), que representan el cero y los primeros números naturales.

1. Cada b unidades simples (o de primer orden) forman una unidad de segundo orden y se escribe a la izquierda de las unidades de primer orden (principio de valor relativo de las cifras).
2. Se continúa el proceso de forma análoga para órdenes superiores.
3. Cuando no hay unidades de un orden determinado (carencia de unidades), se expresa mediante un 0 en la posición correspondiente.

La base b se representa por 10_(b) (es la unidad de segundo orden); la unidad de tercer orden b² se expresará como 100_(b).

Teorema Fundamental de la Numeración

Existencia y unicidad de la expresión de un número n en una base cualquiera b.

Dado un número natural b > 1 (que se llama base del sistema de numeración), todo número natural n se puede expresar de manera única mediante el siguiente polinomio:

n = c_kb^k + r_kb^k-1 + r_k-1b^k-2 + … + r₂b + r₁

donde c_k, r_k, r_k-1, …, r₂, r₁ son números naturales menores que b, y c_k ≠ 0 si n ≠ 0.

Número Natural

Formalización de N a partir de la Idea de Clases de Equivalencia

(Referencia: diapositivas 34-37, parte 1)

En este caso, nos basamos en la idea de que dos conjuntos de objetos que tienen el mismo cardinal son «equivalentes», y todos los conjuntos equivalentes forman una misma clase de conjuntos: conjuntos vacíos, conjuntos con 1, 2, 3 elementos, etc. Puesto que el conjunto de estas clases está naturalmente ordenado, proporciona una posible definición de N (el conjunto de los números naturales).

Relación de Coordinabilidad

Dados dos conjuntos A y B, decimos que son coordinables si entre ellos se puede establecer una aplicación biyectiva (esto ocurre cuando tienen la misma cantidad de elementos).

Se expresa como A ~ B.

La relación de coordinabilidad es una relación de equivalencia porque cumple las tres propiedades: reflexiva, simétrica y transitiva.

Cardinal de un Conjunto

Se denomina cardinal de un conjunto finito al número de elementos que tiene. Se nota como Card(A) o n(A) (o también |A|).

Definición de Número Natural

Se define el número natural como el cardinal del conjunto representante de cada clase de equivalencia.

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