Clasificación de las Variables Estadísticas

Las variables estadísticas se pueden clasificar según diferentes criterios:

Nivel o Escala de Medición

• Variable Nominal: Clasifica los datos en categorías sin un orden inherente.
  • Ejemplo: Estado civil (soltero, casado, viudo, otro).
• Variable Ordinal: Clasifica los datos en categorías con un orden significativo, pero las diferencias entre los valores no son cuantificables.
  • Ejemplo: Nivel educacional (básica, media, superior).
• Variable de Intervalo: Posee un orden y las diferencias entre los valores son significativas, pero el cero es arbitrario (no indica ausencia total de la característica).
  • Ejemplo: Evaluación de un producto (escala del 1 al 10).
• Variable de Razón: Posee un orden, las diferencias son significativas y el cero es absoluto (indica ausencia total de la característica). Permite realizar operaciones de razón.
  • Ejemplo: Ingreso mensual, número de hijos.

Tamaño del Recorrido

• Variable Discreta: Sus valores son numerables, generalmente enteros.
  • Ejemplo: Número de experimentos exitosos (1, 2, 3, …, ∞).
• Variable Continua: Sus valores no son numerables y pueden tomar cualquier valor dentro de un intervalo.
  • Ejemplo: Ingreso mensual (aunque a menudo se discretiza, conceptualmente es continua), altura, peso.

Orientación Descriptiva

• Variable Predictora (Independiente): Se utiliza para predecir o explicar los cambios en otra variable.
• Variable Predicha (Dependiente): Es la variable cuyo comportamiento se busca explicar o predecir.

Tabulación de Datos Estadísticos

La tabulación implica organizar los datos en tablas de frecuencia. Se definen las siguientes frecuencias:

• Frecuencia Absoluta (n_i): Número de casos que corresponden a cada valor de la variable.
• Frecuencia Relativa (Proporción) (f_i = n_i / n): Proporción de casos que le corresponde a cada valor de la variable.
• Frecuencia Absoluta Acumulada (N_i): Número de casos iguales o menores que un cierto valor.
• Frecuencia Relativa Acumulada (F_i = N_i / n): Proporción de casos iguales o menores que un cierto valor.

Tabulación Unidimensional

Se refiere a la organización de datos para una sola variable.

• Caso 1: Variable Discreta y Nominal

  Tabla de frecuencia básica: [ Variable | n_i | f_i ]

• Caso 2: Variable Discreta y Ordinal/Intervalo/de Razón

  Tabla de frecuencia completa: [ Variable | n_i | f_i | N_i | F_i ]

• Caso 3: Variable Continua e Intervalo/de Razón

  Se particiona el recorrido en intervalos de clase: [ X’_i-1 – X’_i ]

  • X_i: Marca de clase, punto medio de cada intervalo.
  • C_i: Amplitud del intervalo (i = 1, 2, 3, …, p).
  • Si C_i = constante → C = ( X_mayor – X_menor ) / número de intervalos

  Tabla de frecuencia para datos agrupados: [ X’_i-1 – X’_i | n_i | f_i | N_i | F_i | X_i ]

Representaciones Gráficas

Gráficos para una Distribución (Unidimensional)

• Variables Tabuladas:

  • Variable Discreta: Gráfico de barras separadas / Gráfico de sectores circulares.
  • Variable Continua: Histograma de frecuencia (si C = constante) / Histograma de frecuencia corregido (si C ≠ constante).

• Variables No Tabuladas:

  • Diagrama de tallo y hoja.
  • Diagrama de cajas (Box Plot) con bigotes.

Gráficos para dos Distribuciones (Bidimensional)

• Variable Discreta: Gráfico de barras agrupadas / Gráfico de barras divididas.
• Variable Continua: Histograma de frecuencia (corregido o no).

Medidas de Posición o de Localización

Estas medidas indican el valor central o la posición de los datos en una distribución.

Media Aritmética (&bar;X o M[X])

(Aplicable a variables de intervalo/de razón)

• Media Simple (datos no tabulados): &bar;X = (x₁ + x₂ + … + x_n) / n = (Σ x_i) / n
• Media Ponderada (datos tabulados): &bar;X = (Σ x_i n_i) / n = Σ x_i f_i (donde x_i es el valor de la variable o la marca de clase X_i)

Propiedades de la Media Aritmética:

• Σ (X_i – &bar;X) = 0
• Σ (X_i – &bar;X)² es mínima.
• Si Y = aX + b, entonces &bar;Y = a&bar;X + b.
• Media Estratificada: &bar;X_total = ( &bar;X₁n₁ + &bar;X₂n₂ + … + &bar;X_pn_p ) / ( n₁ + n₂ + … + n_p ) = ( Σ &bar;X_i n_i ) / n.
  • Estratos: Media del estrato = &bar;X_i; Tamaño del estrato = n_i.

Mediana (Me[X])

(Aplicable a variables ordinales/de intervalo/de razón)

Valor que divide la distribución en dos grupos con igual número de datos.

• Datos sin Tabular:
  • Si el número de datos (n) es impar: Es el valor central.
  • Si el número de datos (n) es par: Es el promedio de los dos valores centrales.
• Datos Tabulados:
  • Variable Discreta: Se busca el valor cuya frecuencia acumulada supera o iguala n/2.
  • Variable Continua (datos agrupados): Me = X’_j-1 + C_j × ( (n/2 – N_j-1) / n_j )

Propiedades de la Mediana:

• La Mediana depende de los valores centrales.
• Si Y = aX + b, entonces Me(Y) = a Me(X) + b.

Percentiles (P_p)

Valores de la variable que superan un cierto porcentaje (p) de los datos.

• Datos sin Tabular: Se ordenan los datos y se busca la posición correspondiente. La Mediana es el Percentil 50 (P₅₀).
• Datos Tabulados (datos agrupados): P_p = X’_j-1 + C_j × ( ( (np/100) – N_j-1 ) / n_j )

Moda (Mo[X])

(Aplicable a todas las variables)

Valor de la variable o marca de clase (X_i) con mayor frecuencia.

Propiedad de la Moda:

• Si Y = aX + b, entonces Mo(Y) = a Mo(X) + b.

Medidas de Dispersión o de Variabilidad

Indican cómo están distribuidos o cuán dispersos están los valores de la variable (aplicable a variables cuantitativas).

Rango

Mayor diferencia entre los valores de la variable: X_mayor – X_menor.

Amplitud Intercuartílica (AIQ)

Mayor diferencia que existe entre el 50% de los valores centrales: Q₃ – Q₁ = P₇₅ – P₂₅.

Varianza (σ² o s²)

• Varianza Poblacional (σ²(X)):

  σ²(X) = Σ (X_i – &bar;X)² / n = ( Σ X_i² – n(&bar;X)² ) / n = &bar;X² – (&bar;X)²

• Varianza Muestral (s²(X)):

  s²(X) = Σ (X_i – &bar;X)² / (n – 1) = ( Σ X_i² – n(&bar;X)² ) / (n – 1)

Propiedad de la Varianza:

• Si Y = aX + b, entonces V[Y] = a² V[X].

Desviación Típica o Estándar (σ o s)

• Poblacional: σ(X) = +(σ²(X))^1/2
• Muestral: s(X) = +(s²(X))^1/2

La varianza (σ²(X)) y la varianza muestral (s²(X)) se utilizan para comparar la dispersión de dos o más distribuciones si:

• La unidad de medición es la misma.
• Las medias aritméticas son iguales.

Si estas condiciones no se cumplen, se utiliza el Coeficiente de Variación.

Coeficiente de Variación o de Variabilidad (CV[X])

• Poblacional: CV[X] = σ(X) / &bar;X
• Muestral: CV[X] = s(X) / &bar;X

Si CV[X_a] < CV[X_b], entonces existe más dispersión en CV[X_b] y CV[X_a] es más homogénea.

CV[X] × 100: Porcentaje de variabilidad.

Medidas Estadísticas en Distribuciones Bidimensionales

Estudian el comportamiento conjunto de dos variables (X, Y).

1) Medidas Marginales

Son las mismas medidas que en el caso unidimensional, aplicadas a cada variable por separado.

2) Medidas Condicionales

Son las mismas medidas que en el caso unidimensional, calculadas para una variable dado un valor específico de la otra.

• Media Aritmética Condicional: M[X/Y = Y_j] = &bar;X_Y=Yj
• Varianza Condicional: V[X/Y = Y_j]

3) Medidas Conjuntas

Estudian conjuntamente el comportamiento de (X, Y).

Media Aritmética Conjunta de (X, Y) (&bar;XY o M[X,Y])

• Datos no tabulados: &bar;XY = (Σ X_i Y_i) / n
• Datos tabulados: &bar;XY = (Σ Σ X_i Y_i n_ij) / n

Covarianza (Cov[X,Y])

• Datos no tabulados:

  • Poblacional: Cov[X,Y] = Σ (X_i – &bar;X)(Y_i – &bar;Y) / n = ( Σ X_i Y_i / n ) – ( &bar;X &bar;Y )
  • Muestral: Cov[X,Y] = Σ (X_i – &bar;X)(Y_i – &bar;Y) / (n – 1) = ( Σ X_i Y_i – n &bar;X &bar;Y ) / (n – 1)

Cuando existe asociación lineal entre X e Y, Cov[X,Y] indica el sentido:

• Directa: Si Cov[X,Y] > 0
• Inversa: Si Cov[X,Y] < 0
• No correlacionadas linealmente: Si Cov[X,Y] = 0 (X e Y no están correlacionadas linealmente).

Coeficiente de Correlación Lineal (Pearson) (ρ_X,Y o r)

(r: en calculadora)

• Poblacional: ρ_X,Y = Cov[X,Y] / (σ(X)σ(Y))
• Muestral: r_X,Y = Cov[X,Y] / (s(X)s(Y))

Interpretación del Coeficiente de Correlación Lineal:

• Si ρ_X,Y = 1 → Asociación lineal directa y perfecta.
• Si ρ_X,Y = -1 → Asociación lineal perfecta e inversa.
• Si ρ_X,Y = 0 → No existe asociación lineal.

Propiedades de la Covarianza:

• a) Cov[X,X] = V[X]
• b) Cov[aX + b; cY + d] = ac × Cov[X,Y]
• c) Cov[aX + bY; cX + dY] = ac × V[X] + bd × V[Y] + (ad + bc) × Cov[X,Y]
• d) V[X+Y] = Cov[X+Y; X+Y] = V[X] + V[Y] + 2Cov[X,Y]
• e) V[X-Y] = Cov[X-Y; X-Y] = V[X] + V[Y] – 2Cov[X,Y]

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