Ecuaciones Fundamentales del Movimiento Circular

Si conocemos un registro de la velocidad angular (ω) de un móvil, podemos calcular su desplazamiento angular (θ – θ₀) entre los instantes t₀ y t. La relación se expresa mediante la integral:

θ – θ₀ = ∫_t0^t ω dt ⇒ θ = θ₀ + ∫_t0^t ω dt

El producto ω dt representa el desplazamiento angular infinitesimal del móvil entre los instantes t y t + dt, o en el intervalo dt. El desplazamiento total es la suma de los infinitos desplazamientos angulares infinitesimales entre los instantes t₀ y t.

Hallamos la posición angular θ del móvil en el instante t, sumando la posición inicial θ₀ al desplazamiento, calculado mediante la medida del área bajo la curva ω-t o mediante el cálculo de la integral definida en la fórmula anterior.

Del mismo modo que hemos calculado el desplazamiento angular del móvil entre los instantes t₀ y t, a partir de un registro de la velocidad angular ω en función del tiempo t, podemos calcular el cambio de velocidad angular (ω – ω₀) que experimenta el móvil entre dichos instantes, a partir de una gráfica de la aceleración angular (α) en función del tiempo:

ω – ω₀ = ∫_t0^t α dt ⇒ ω = ω₀ + ∫_t0^t α dt

Conociendo el cambio de velocidad angular ω – ω₀, y el valor inicial ω₀ en el instante inicial t₀, podemos calcular la velocidad angular ω en el instante t.

Movimiento Circular Uniforme (MCU)

Un movimiento circular uniforme es aquel cuya velocidad angular ω es constante; por tanto, la aceleración angular α es cero.

La posición angular θ del móvil en el instante t la podemos calcular integrando:

θ – θ₀ = ω(t – t₀)

o gráficamente, en la representación de ω en función de t.

Habitualmente, el instante inicial t₀ se toma como cero. Las ecuaciones del movimiento circular uniforme son análogas a las del movimiento rectilíneo uniforme:

• α = 0
• ω = cte
• θ = θ₀ + ωt

El movimiento circular uniforme (MCU) es un movimiento periódico, es decir, se repite cada cierto tiempo con iguales características. Esto nos permite definir las siguientes magnitudes:

Período y Frecuencia en el MCU

• Período (T): Se trata del tiempo que tarda el cuerpo en dar una vuelta completa. Se representa por T y se mide en segundos (s). Su expresión viene dada por: T = 2π/ω
• Frecuencia (f): Se trata del número de vueltas que el cuerpo da en cada segundo. Se representa por f y se mide en la inversa del segundo (s^-1), que también se denomina hercio (Hz). Su expresión viene dada por: f = ω/(2π)

La frecuencia es la inversa del período: f = 1/T.

Relacionando frecuencia, período y velocidad angular mediante las expresiones anteriores, nos queda:

ω = 2π/T = 2πf

Finalmente, recuerda que la relación entre la velocidad angular (ω) y la velocidad lineal (v) nos permite escribir la última de nuestras expresiones que relaciona velocidad angular, velocidad lineal, período, frecuencia y radio (r) en el movimiento circular uniforme (MCU):

v = ωr = (2π/T)r = 2πfr

No olvides que el concepto de frecuencia y de período solo tiene sentido en los movimientos periódicos. Así, en el movimiento circular uniformemente acelerado, por ejemplo, no tiene sentido hablar de frecuencia o de período.

Movimiento Circular Uniformemente Acelerado (MCUA)

Un movimiento circular uniformemente acelerado es aquel cuya aceleración angular α es constante. Dada la aceleración angular, podemos obtener el cambio de velocidad angular ω – ω₀ entre los instantes t₀ y t, mediante integración, o gráficamente:

ω – ω₀ = α(t – t₀) ⇒ ω = ω₀ + α(t – t₀)

Dada la velocidad angular ω en función del tiempo, obtenemos el desplazamiento θ – θ₀ del móvil entre los instantes t₀ y t, integrando:

θ – θ₀ = ω₀(t – t₀) + ½ α(t – t₀)²

Habitualmente, el instante inicial t₀ se toma como cero. Las fórmulas del movimiento circular uniformemente acelerado son análogas a las del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado:

• α = cte
• ω = ω₀ + αt
• θ – θ₀ = ω₀t + ½ αt²

Despejando el tiempo t en la segunda ecuación y sustituyéndola en la tercera, relacionamos la velocidad angular ω con el desplazamiento θ – θ₀:

ω² = ω₀² + 2α(θ – θ₀)

Componentes de la Aceleración en el Movimiento Curvilíneo

Sabemos que el vector velocidad es tangente a la trayectoria, pero el vector aceleración cambia punto a punto. En cualquier punto, este vector aceleración puede descomponerse en dos componentes: una radial y otra tangencial:

a = a_t + a_r

Aceleración Tangencial

La componente de aceleración tangencial (a_t) causa un cambio en la rapidez de la partícula. Esta componente es paralela a la velocidad instantánea y su magnitud se conoce por:

a_t = |dv/dt|

Aceleración Centrípeta

La aceleración centrípeta (también llamada aceleración normal) es una magnitud relacionada con el cambio de dirección de la velocidad de una partícula en movimiento cuando recorre una trayectoria curvilínea. La aceleración centrípeta va dirigida hacia el centro de curvatura de la trayectoria.

Cuando una partícula se mueve en una trayectoria curvilínea, aunque se mueva con rapidez constante (por ejemplo, en el MCU), su velocidad cambia de dirección, ya que esta es un vector tangente a la trayectoria, y en las curvas dicha tangente no es constante.

La aceleración centrípeta, a diferencia de la aceleración centrífuga, está provocada por una fuerza real requerida para que cualquier observador inercial pueda dar cuenta de cómo se curva la trayectoria de una partícula que no realiza un movimiento rectilíneo.

a_c = v²/r = rω²

Fuerzas Asociadas al Movimiento Circular

Fuerza Centrípeta

Se llama fuerza centrípeta a la fuerza, o al componente de la fuerza, que actúa sobre un objeto en movimiento sobre una trayectoria curvilínea, y que está dirigida hacia el centro de curvatura de la trayectoria. La fuerza centrípeta es la fuerza que produce en la partícula la aceleración centrípeta.

Dada la masa (m) del móvil, y basándose en la segunda ley de Newton (F = ma), se puede calcular la fuerza centrípeta a la que está sometido el móvil mediante la siguiente relación:

F_c = m a_c = mv²/r = mω²r

Fuerza Centrífuga (Ficticia)

La «fuerza centrífuga» no es una fuerza en el sentido usual de la palabra, sino que es una fuerza ficticia que aparece en los sistemas de referencia no inerciales. Es decir, es la fuerza aparente que un observador no inercial parece percibir como resultado de la no inercialidad de su sistema de referencia. Aunque puede ser ficticia, tiene efectos reales.

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