Teoría de la Elección y Conjuntos de Alternativas Aceptables

Definición 2.1: El Conjunto de Alternativas Aceptables

Definición 2.1. Sea ≻ una preferencia estricta (con preferencia débil asociada ⪰) sobre un conjunto X. Se define el conjunto de alternativas aceptables de A ⊆ X, con A distinto de vacío, como:

c(A, ≻) = {a ∈ A : no existe x ∈ A con x ≻ a} = {a ∈ A : a ⪰ x, ∀ x ∈ A}.

Es decir, c(A, preferencia estricta ≻) o c(A, preferencia débil) es el conjunto formado por los elementos de aquel primer conjunto A con los que el agente estaría satisfecho cuando se le da a elegir entre todos los de A. El agente encontrará un máximo para su preferencia cuando elige en A, si ese conjunto c(A, preferencia estricta ≻) es no vacío.

Propiedades de Existencia

Por ejemplo, esto sucede en los casos que considera la siguiente propiedad:

• Dada una preferencia estricta ≻ sobre un conjunto X, y un subconjunto A ⊆ X, A distinto de ∅, se tiene lo siguiente:
• Si el conjunto de opciones A es finito, entonces c(A, p estricta ≻) es no vacío.
• Si el conjunto de opciones A ⊂ Rⁿ es compacto (es decir, cerrado y acotado), y la preferencia ≻ es continua, entonces c(A, p estricta ≻) es no vacío.

Propiedad 2.2: Consistencia en la Elección

Propiedad 2.2. Dados A, B ⊆ X tales que x, y ∈ A ∩ B, si x ∈ c(A, p estricta ≻) e y ∈ c(B, estricta ≻), entonces se cumple también que x ∈ c(B, estricta ≻) e y ∈ c(A, estricta ≻). Y, de hecho, x ∼ y.

Funciones de Elección y Decisividad

Definición 2.2: La Función de Elección

Definición 2.2. Una función de elección sobre el conjunto X es una aplicación c : P*(X) → P(X), donde P*(X) es el conjunto de las partes no vacías de X, tal que para todo A ⊆ X con A distinto de ∅ se tiene c(A) ⊆ A.

Diremos que esta c es decisiva cuando todas las elecciones sean no vacías, es decir, cuando para todo A ⊆ X con A distinto de ∅ se dé c(A) distinto de ∅.

Teoría de la Preferencia Revelada

Preferencia Revelada Estricta

Se dice que “x se revela preferido a y” o “x se revela mejor que y” cuando se da la relación x ≻_p estricta sobre c(y). Esta expresión significa que el agente, en alguna situación en que disponía de las dos opciones x e y, no eligió y a pesar de haber elegido x.

Dados x, y ∈ X cualesquiera, x ≻_p estricta sobre c(y) si y sólo si ∃ A ⊆ X con x, y ∈ A tal que x ∈ c(A) e y ∉ c(A).

Preferencia Revelada Débil

Se dice que “x se revela débilmente preferido a y” o “x se revela tan bueno como y” cuando se da la relación x p débil sobre c(y). Esta expresión significa que el agente, en alguna situación en que disponía de las dos opciones x e y, ha elegido x. Esto revela, por tanto, una preferencia débil de x sobre y.

Dados x, y ∈ X cualesquiera, x p débil sobre c(y) si y sólo si ∃ A ⊆ X con x, y ∈ A tal que x ∈ c(A).

Decisión bajo Incertidumbre Estricta

En un escenario de decisión bajo incertidumbre estricta, un agente tiene una cantidad finita de opciones a su disposición, cada una de las cuales puede tener unos resultados de cuyas probabilidades el agente no tiene ninguna información.

Criterios de Decisión

Existen criterios que permiten decidir cuándo declararemos que una opción es preferible a otra, si “en determinadas ocasiones proporciona un resultado mejor y en otras peor” según el estado de la naturaleza que se dé:

• Completa ordenación de las opciones: Significa que el criterio ordena de más a menos preferidas todas las opciones disponibles. Es importante que un criterio le diga al agente qué opción elegir y cuál sería la siguiente favorita.
• Independencia de transformaciones estrictamente crecientes: Como la representación de las preferencias se puede hacer por infinitas funciones, y todas ellas son transformaciones estrictamente crecientes entre sí, se exige que no varíe la decisión según la representación elegida.
• Dominación fuerte: Si v_ij > v_kj, ∀ j = 1, …, n, entonces la opción a_i ha de ser preferida a la opción a_k. Es decir, independientemente del estado de la naturaleza, el agente siempre gana con a_i respecto a a_k.
• Independencia de alternativas irrelevantes: Si se añade una nueva alternativa y en la situación inicial el agente prefería a_i a a_j, la opción a_j no puede ser elegida en la nueva situación. Sin embargo, la nueva opción sí puede ser elegida.

Decisión bajo Riesgo y Utilidad Esperada

Definición 2.6: Loterías Simples

Definición 2.6. Sea X un conjunto. Llamaremos lotería (simple) sobre X a una distribución de probabilidad p sobre X que asigna pesos no nulos únicamente a una cantidad finita de elementos del conjunto. El conjunto de estas loterías se denota por L.

En este contexto, el conjunto X representa los posibles resultados o premios. Se habla del soporte de una lotería p para referirnos exactamente a aquellos elementos de X a los que p asigna un peso no nulo.

Hipótesis de la Utilidad Esperada

Definición. Sea X un conjunto y L el conjunto de loterías definidas en X. Una relación binaria p débil sobre L verifica la hipótesis de la utilidad esperada si existe una función u : X → R tal que el agente ordena las loterías de acuerdo a la función de utilidad esperada U : L → R definida por:

U(p) = ∑ p(x) u(x).

Proposición 2.2: Unicidad de la Representación

Proposición 2.2. Sea X un conjunto y L el conjunto de loterías definidas en X. Si p estricta es una preferencia sobre L que admite una representación por una función de utilidad esperada, entonces:

U’ : L → R es otra utilidad de ese tipo si y sólo si existen a, b ∈ R, con a > 0, tales que U’ = aU + b. Es decir, si y sólo si U’ es una transformación afín estrictamente positiva de U.

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