Dominios Finitos y Cuerpos

Teorema: Un dominio finito es un cuerpo.

Demostración: Sea A un dominio. Si A no es un cuerpo, entonces existe a ∈ A, con a ≠ 0, que no es invertible (y a ≠ 1).

Consideremos el conjunto S = {a, a², a³, …} ⊂ A. Demostraremos que los elementos de S son distintos de 0 y 1, y que son todos distintos entre sí.

• aⁿ ≠ 0 para todo n ≥ 1:
  • Para n = 1, a¹ ≠ 0 por hipótesis.
  • Para n > 1, de aⁿ = a · aⁿ⁻¹ (siendo A un dominio de integridad), se sigue que aⁿ ≠ 0. (Si a · aⁿ⁻¹ = 0 y a ≠ 0, entonces aⁿ⁻¹ debería ser 0. Repitiendo este proceso finitamente, se llegaría a a = 0, lo cual es un absurdo).
• aⁿ ≠ 1 para todo n ≥ 1:
  • Si n = 1, a¹ = a = 1, lo que implicaría que a es invertible, contradiciendo la hipótesis.
  • Si n > 1, de 1 = aⁿ = a · aⁿ⁻¹ se deduce que aⁿ⁻¹ = a⁻¹, lo que también concluye que a es invertible, un absurdo.
• aⁿ ≠ aᵐ si n ≠ m:
  • Si aⁿ = aᵐ (suponiendo n > m), entonces 0 = aⁿ − aᵐ = aᵐ(aⁿ⁻ᵐ − 1). Sin embargo, aᵐ ≠ 0 (como se demostró anteriormente) y aⁿ⁻ᵐ − 1 ≠ 0 (ya que aⁿ⁻ᵐ ≠ 1, como se demostró anteriormente), lo cual no es posible en un dominio de integridad.

Por lo tanto, A contiene un conjunto infinito de elementos distintos, {a, a², a³, …} ⊂ A, lo cual no es posible ya que A es finito. Esta contradicción demuestra que la suposición inicial (que A no es un cuerpo) es falsa. En consecuencia, todo dominio finito es un cuerpo.

Unidades en Anillos Específicos

• Unidades en Z[i]: U(Z[i]) = {±1, ±i}
• Unidades en Z[√−2]: U(Z[√−2]) = {±1} (donde a² + 2b² = 1, con a, b ∈ Z).
• Unidades en Z_n: U(Z_n) = {a ∈ Z_n | a ≠ 0, mcd(a, n) = 1}, con Z_n = {0, 1, 2, …, n − 1}.

Ideales en Anillos Conmutativos con Unidad

Definición de Ideal

Un subconjunto I de un anillo conmutativo con unidad R es un ideal si y solo si para todo a, b ∈ I y c ∈ R, se cumple que a + b ∈ I y ac ∈ I.

Demostración de la Caracterización de Ideal

(⇐) Sea I ⊂ R tal que para todo a, b ∈ I y c ∈ R, se tiene que a + b ∈ I y ac ∈ I. Por hipótesis, se tiene que para todo a ∈ I y todo c ∈ R, entonces ac ∈ I. Por la conmutatividad del anillo, también se tiene que ca = ac ∈ I. Basta entonces con verificar que I ⊂ R es un subgrupo aditivo. Sean a, b ∈ I. Como R es un anillo con unidad, dado 1 = 1_R ∈ R, existe también −1 ∈ R (opuesto de 1). Por lo tanto, si b ∈ I, entonces, por hipótesis, se tiene que b · (−1) = (−1) · b = −b ∈ I. En consecuencia, por hipótesis, a − b = a + (−b) ∈ I y, por la caracterización de los subgrupos, I es un subgrupo aditivo de R.

Ejemplos y Propiedades de Ideales

• Propiedad: Todo subgrupo de (Z, +) es un ideal de (Z, +, ·). (Estudiar el caso para Z_n, Ejercicio 9).
• Ejemplo de Anillo: A = {a + b√5 | a, b ∈ Z}. Este es un anillo conmutativo, con unidad, íntegro, pero no es un cuerpo.
• Z como Subanillo de A, ¿pero no Ideal?

  Consideremos un homomorfismo de anillos i: Z → Z[√5]. La imagen i(Z) es un subanillo de Z[√5]. Además, i es monomorfismo, ya que Ker(i) = {0}. Por lo tanto, podemos identificar Z ≡ i(Z) ⊂ Z[√5], y Z es un subanillo de Z[√5]. Sin embargo, Z no es un ideal de Z[√5], ya que, por ejemplo, √5 ∈ Z[√5] y √5 · Z ¬⊂ Z (pues √5 · 1 = √5 ∉ Z).

Tipos Especiales de Ideales

• Relación entre Ideales Primos y Maximales:
  • Un ideal I es maximal si y solo si A/I es un cuerpo.
  • Un ideal I es primo si y solo si A/I es un dominio de integridad.
  • Nota: Todo ideal maximal es primo, pero no todo ideal primo es maximal.
• Ideal Principal: Un ideal es principal si se genera por un solo elemento.
• Dominio de Ideales Principales (DIP): Un dominio de integridad A es un DIP si todo ideal de A es principal. (Referencia: D-73)

Endomorfismo de Frobenius

Demostración del Endomorfismo de Frobenius

Sea A un anillo conmutativo de característica p (donde p es un número primo). Definimos la función f_p: A → A por f_p(x) = x^p. Demostraremos que f_p es un homomorfismo de anillos.

1. Aditividad: Sean x, y ∈ A. Como A es conmutativo, por el Teorema del Binomio, tenemos:

(x + y)^p = ∑_k=0^p (^p_k) x^p−k y^k

Además, p divide a (^p_k) para todo k = 1, 2, …, p − 1. Dado que la característica de A es p, se tiene que (^p_k) ≡ 0 (módulo p) para todo k = 1, 2, …, p − 1. Por lo tanto:

(x + y)^p = x^p + y^p = f_p(x) + f_p(y)

2. Multiplicatividad: Sean x, y ∈ A. Por la conmutatividad de A:

f_p(x · y) = (x · y)^p = x^p · y^p = f_p(x) · f_p(y)

3. Elemento Unidad: Si A tiene unidad 1_A:

f_p(1_A) = 1_A^p = 1_A

Por lo tanto, f_p(x) = x^p es un homomorfismo de anillos.

Nota: Si p no es primo, f_p no necesariamente es un homomorfismo. Por ejemplo, si f: Z₄ → Z₄, f(x) = x⁴, se tiene que f([1] + [1]) = f([2]) = [2]⁴ = [16] = [0]. Pero por otra parte, f([1]) + f([1]) = [1]⁴ + [1]⁴ = [1] + [1] = [2] ≠ [0].

Inyectividad del Endomorfismo de Frobenius

Teorema: Si p ≥ 2 y A es un dominio de integridad, el endomorfismo de Frobenius f_p es inyectivo.

Demostración de Inyectividad: Si p ≥ 2 y A es un dominio de integridad, entonces Ker(f_p) = {0}. Si f_p(x) = x^p = 0 para algún x ∈ Ker(f_p), con x ≠ 0, como A es un dominio, entonces x^p = x · x^p−1 = 0 implica x^p−1 = 0. Repitiendo este proceso, se llegaría en un número finito de pasos a que x = 0, lo cual es un absurdo. Por lo tanto, Ker(f_p) = {0} y f_p es inyectiva.

Caso de no dominio de integridad: Si A no es un dominio de integridad, f_p no tiene por qué ser inyectiva. Por ejemplo, sea R = Z_p[x]/(x^p). R no es un dominio de integridad y su característica es p. Sin embargo, f_p no es inyectiva en R, ya que f_p([x]) = [x]^p = [0] = f_p([0]), pero [x] ≠ [0].

Propiedades Fundamentales de los Homomorfismos de Anillos

Sea f: A → A’ un homomorfismo de anillos.

1. f(0_A) = 0_A’ y f(−x) = −f(x) para todo x ∈ A.

   Demostración: Sea a ∈ A. Entonces f(a) = f(a + 0_A) = f(a) + f(0_A), lo que implica f(0_A) = 0_A’. Ahora, sea x ∈ A. Como 0_A’ = f(0_A) = f(x + (−x)) = f(x) + f(−x), se deduce que f(−x) = −f(x) para todo x ∈ A.

2. Si S es un subanillo de A, entonces f(S) = {f(s) | s ∈ S} es un subanillo de A’.

   Demostración: Sea S un subanillo de A. Probemos que f(S) es un subanillo de A’. Para ello, sean f(s), f(s’) ∈ f(S), con s, s’ ∈ S. Debemos verificar que f(s) − f(s’) ∈ f(S). Esto es cierto, ya que si s, s’ ∈ S, entonces s − s’ ∈ S, y por la propiedad de homomorfismo, f(s − s’) = f(s) − f(s’) ∈ f(S). También debemos verificar que f(s) · f(s’) ∈ f(S). Esto también es cierto, ya que como s, s’ ∈ S, entonces s · s’ ∈ S, y por la propiedad de homomorfismo, f(s · s’) = f(s) · f(s’) ∈ f(S).

3. Si S’ es un subanillo de A’, entonces f⁻¹(S’) = {a ∈ A | f(a) ∈ S’} es un subanillo de A.

   Demostración: Si S’ es un subanillo de A’, probemos que f⁻¹(S’) es un subanillo de A. Sean a, b ∈ f⁻¹(S’). Entonces f(a) ∈ S’ y f(b) ∈ S’. Como S’ es un subanillo, f(a) − f(b) ∈ S’. Por la propiedad de homomorfismo, f(a − b) = f(a) − f(b) ∈ S’, lo que implica a − b ∈ f⁻¹(S’). También, f(a) · f(b) ∈ S’. Por la propiedad de homomorfismo, f(a · b) = f(a) · f(b) ∈ S’, lo que implica a · b ∈ f⁻¹(S’).

4. El núcleo de f, N(f) = {a ∈ A | f(a) = 0_A’}, es un ideal de A. Además, f es inyectiva si y solo si N(f) = {0_A}.

   Demostración: Sea N(f) = {a ∈ A | f(a) = 0_A’} el núcleo de f. Probemos que es un ideal de A. En efecto: si a, b ∈ N(f), entonces f(a) = 0_A’ y f(b) = 0_A’. Por lo tanto, f(a − b) = f(a) − f(b) = 0_A’ − 0_A’ = 0_A’, lo que implica a − b ∈ N(f). De la misma forma, si c ∈ A y a ∈ N(f), entonces f(c · a) = f(c) · f(a) = f(c) · 0_A’ = 0_A’, lo que implica c · a ∈ N(f). Por lo tanto, N(f) es un ideal de A.

   Probemos que f es inyectiva si y solo si N(f) = {0_A} (doble implicación):

   • (⇒) Supongamos que f es inyectiva. Veamos que N(f) = {0_A}. Sea a ∈ N(f), entonces f(a) = 0_A’. Como también f(0_A) = 0_A’ y f es inyectiva, entonces a = 0_A. Por lo tanto, N(f) = {0_A}.
   • (⇐) Supongamos que N(f) = {0_A}. Sean a, b ∈ A tales que f(a) = f(b). Entonces f(a) − f(b) = 0_A’, lo que implica f(a − b) = 0_A’. Esto significa que a − b ∈ N(f). Como N(f) = {0_A}, entonces a − b = 0_A, lo que implica a = b. Por lo tanto, f es inyectiva.

5. Si I’ es un ideal de A’, entonces f⁻¹(I’) es un ideal de A.

   Demostración: Sea I’ un ideal de A’. Probemos que f⁻¹(I’) es un ideal de A. Sean a, b ∈ f⁻¹(I’). Entonces f(a) ∈ I’ y f(b) ∈ I’. Como I’ es un ideal, f(a) − f(b) ∈ I’. Por la propiedad de homomorfismo, f(a − b) = f(a) − f(b) ∈ I’, lo que implica a − b ∈ f⁻¹(I’). Ahora, sea c ∈ A y a ∈ f⁻¹(I’). Entonces f(c) ∈ A’ y f(a) ∈ I’. Como I’ es un ideal, f(c) · f(a) ∈ I’. Por la propiedad de homomorfismo, f(c · a) = f(c) · f(a) ∈ I’, lo que implica c · a ∈ f⁻¹(I’).

6. Si f es sobreyectiva e I es un ideal de A, entonces f(I) es un ideal de A’.

   Demostración: Sea f sobreyectiva e I un ideal de A. Probemos que f(I) es un ideal de A’. Primero, sean a’, b’ ∈ f(I). Como f es sobreyectiva, existen a, b ∈ I tales que f(a) = a’ y f(b) = b’. Dado que I es un ideal, a − b ∈ I. Por lo tanto, f(a − b) = f(a) − f(b) = a’ − b’ ∈ f(I). Segundo, sean a’ ∈ f(I) y c’ ∈ A’. Como f es sobreyectiva, existen a ∈ I y c ∈ A tales que f(a) = a’ y f(c) = c’. Dado que I es un ideal, c · a ∈ I. Por lo tanto, f(c · a) = f(c) · f(a) = c’ · a’ ∈ f(I).

7. Si A es un anillo con unidad 1_A y f es sobreyectiva, entonces A’ es un anillo con unidad y f(1_A) = 1_A’.

   Demostración: Sea A un anillo con unidad 1_A, y sea f: A → A’ sobreyectiva. Probemos que A’ es un anillo unitario y que f(1_A) = 1_A’. Para ello, sea a’ ∈ A’. Como f es sobreyectiva, existe a ∈ A tal que f(a) = a’. Por otra parte, como f(a) = f(a · 1_A) = f(a) · f(1_A), se tiene que a’ = a’ · f(1_A). De la misma forma, f(a) = f(1_A · a) = f(1_A) · f(a), lo que implica a’ = f(1_A) · a’. Por lo tanto, f(1_A) es, por definición, el elemento unidad de A’, es decir, f(1_A) = 1_A’.

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