Polinomios

Polinomio: Es la suma de varios monomios no semejantes. Por tanto, podemos decir que es toda expresión de la forma:

P(x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + … + a₁x + a₀

Valor numérico

Valor numérico de un polinomio: El valor numérico de un polinomio P(x) para x = a es el número que resulta de sustituir la variable x por a y realizar las operaciones. Se expresa por P(a).

Teorema del resto

Teorema del resto: El resto de la división de la forma P(x) : (x − a) (siendo a ∈ ℝ) coincide con el valor numérico del polinomio P(x) para x = a.

Es decir: R = P(a)

Raíz y factor

Raíz de un polinomio: Un número a es una raíz del polinomio P(x) si el valor numérico del polinomio para x = a es cero. Es decir, P(a) = 0.

Teorema del factor: Un número x = a es raíz de un polinomio P(x) si y sólo si x − a es un factor de P(x).

x = a (a ∈ ℝ) es raíz de P(x) ⇄ x − a es un factor de P(x)

Factorización e irreducibilidad

Factorizar: Factorizar un polinomio es expresarlo (descomponerlo) como producto de polinomios irreducibles.

Polinomio irreducible: Un polinomio es irreducible si no se puede escribir como producto de dos o más polinomios de menor grado que él.

Fracción algebraica

Fracción algebraica: Una fracción algebraica es un cociente entre dos polinomios P(x) y Q(x), que se expresa como P(x)/Q(x), donde Q(x) ≠ 0.

M.C.D. y m.c.m. de polinomios

Máximo común divisor de polinomios: El máximo común divisor de dos o más polinomios es el polinomio que resulta de multiplicar los factores primos comunes de sus descomposiciones factoriales, elevados al menor exponente.

Mínimo común múltiplo de polinomios: El mínimo común múltiplo de dos o más polinomios es el polinomio que resulta de multiplicar los factores primos comunes y no comunes de sus descomposiciones factoriales, elevados al mayor exponente.

Ecuaciones

Ecuación: Es una igualdad entre dos expresiones algebraicas que se verifica para algún (o algunos) valores de la/s incógnita/s.

Solución de una ecuación: Llamamos solución de una ecuación al valor o valores de la/s incógnita/s que verifican la igualdad.

Resolver una ecuación: Resolver una ecuación es hallar el valor de su incógnita o incógnitas, es decir, encontrar su solución.

Ecuaciones por grado

Ecuaciones de 1er grado: Son de la forma ax = b, donde a, b ∈ ℝ.

Ecuaciones de 2.º grado: Son de la forma ax² + bx + c = 0, siendo a, b, c ∈ ℝ y a ≠ 0. Pueden ser completas o incompletas.

Discriminante

Discriminante: En una ecuación de 2.º grado ax² + bx + c = 0 con a, b, c ∈ ℝ y a ≠ 0, se llama discriminante a la expresión Δ = b² − 4ac. Según el discriminante podremos saber el tipo de soluciones de una ecuación de 2.º grado sin resolverla.

Ecuaciones especiales y métodos

Ecuaciones bicuadradas: Son de la forma ax⁴ + bx² + c = 0, siendo a, b, c ∈ ℝ y a ≠ 0. Se resuelven haciendo un cambio de variable.

Ecuaciones de grado superior a 2 que no son bicuadradas: Para resolverlas, tenemos que factorizar y después igualar cada factor a cero.

Ecuaciones racionales: Son aquellas que tienen la incógnita en el denominador.

Ecuaciones irracionales: Son aquellas que tienen la incógnita dentro de una raíz.

Ecuaciones lineales con dos incógnitas y sistemas

Ecuación lineal con dos incógnitas: Una ecuación lineal con dos incógnitas x, y es aquella que se puede reducir a otra de la forma ax + by = c. Su representación gráfica es una recta. Tiene infinitas soluciones, que son los infinitos puntos de dicha recta.

Sistema de ecuaciones: Un sistema de ecuaciones es un conjunto de varias ecuaciones que deben verificarse simultáneamente.

Soluciones del sistema: Las soluciones del sistema son las soluciones comunes a todas las ecuaciones que lo componen.

Sistemas no lineales: Son aquellos que tienen, al menos, una ecuación de grado mayor que 1. Se resuelven, mayoritariamente, por sustitución.

Desigualdades e inecuaciones

Desigualdades numéricas: Para comparar el valor de dos números reales cualquiera a y b se utilizan los símbolos de desigualdad.

Propiedades de las desigualdades

• Al intercambiar los miembros de una desigualdad, se modifica el sentido de la misma.
• Al sumar o restar un mismo número a los dos miembros de una desigualdad, se obtiene otra de igual sentido.
• Al multiplicar o dividir los dos miembros de una desigualdad por un mismo número distinto de cero, se obtiene otra que será de igual sentido si el número es positivo, o de sentido contrario si el número es negativo.

Inecuaciones

Inecuación: Es una desigualdad entre dos expresiones algebraicas, llamadas miembros de la inecuación, que está condicionada por los valores numéricos que se asignen a sus incógnitas. Las soluciones de una inecuación son los valores numéricos de las incógnitas que hacen cierta la desigualdad.

Inecuaciones de 1er grado

Son aquellas que se pueden expresar en otra equivalente a:

ax + b > 0; ax + b < 0; ax + b ≥ 0; ax + b ≤ 0, siendo a, b ∈ ℝ. Para resolverlas tendremos que despejar la incógnita x, utilizando las propiedades de las desigualdades.

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